وتاون تورا کاوالیری (۱۵۶۴-۱۶۴۲) اهل میلان، ازهمان سال های نخستین به ریاضیات علاقه مند بود،و به ظاهر زیر تاثیرگالیله، روش « غیر قابل تقسیم ها» را در هندسه بوجود آورد که در اثر بزرگاو در سال ۱۶۳۵، با عنوان «هندسه، با طرح تازه ای بر اساس غیر قابل تقسیمهای پیوسته»، به شهرت رسید.

غیر قابل تقسیم ها، از نظر کاوالیری،وترهای موازی در درون شکل روی صفحه، و صفحه های موازی در درون جسم بود. اوبرای مقایسه ی شکل های روی صفحه و جسم های فضایی، مفهوم « مجموع همه ی غیرقابل تقسیم ها» را آورد که تماس سطح و فضای جسم را پر می کردند.

برای کاوالیری، نسبت این مجموع ها، همان نسبت مساحت ها و حجم ها بود. او شکل های روی صفحه را، بین دو خط راست موازی در نظر گرفت.

اصل کاوالیری درباره مساحت

اگرفرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطیموازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند،مساحت های آن دو شکل برابر است.

با توجه به شکل دو شکل بر روی افققرار گرفته اند. اگرهر خطی به موازات قاعده مانند d رسم کنیم و داشتهباشیم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.
اصل کاوالیری در باره حجم ها

دوشکل فضایی و صفحه ای که قاعده های دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظربگیرید. اگر هر صفحه ای موازی با این صفحه که یکی از این دو شکل را قطع میکند، دیگری را نیز قطع می کند و سطح مقطع های حاصل دارای مساحت های برابرباشند، آنگاه این دو شکل فضایی حجم یکسان دارند.

خود کاوالیری دراین زمینه می نویسد: «دو جسمی که قاعده ی آنهای بر یک صفحه و ارتفاعشانبرابر باشد، به شرطی هم ارزند یعنی حجم های برابر دارند که مقطع هایآنهابا صفحه های موازی با قاعده باشد.»

این نظام کار، به نام «نظام کاوالیری» معروف است.

کاوالیریبر پایه ی این نظام، قضیه های زیادی را اثبات می کند. برای نمونه، ثابتکرد نسبت مساحت های دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع هایمتناظر آن ها.

ابهامی که در مفهوم «مجموع غیر قابل تقسیم ها» وجوددارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضی از هم عصران کاوالیری شد. به همینخاطر کاوالیری کتاب دیگری با نام «شش طرح هندسی» را نوشت که در آن، تلاشکرد مفهوم هایی را که بکار می برد، دقیق تر کند، با وجود این، خودکاوالیری تا پایان زندگی نسبت به کافی بودن استدلالهای خود در تردید باقیبود، گرچه به درستی آن ها اعتقاد داشت.

طرح کاوالیری در هندسه وآموزش او درباره ی غیر قابل تقسیم ها، تنها برای درک بهتر هندسه ی مقدماتیسودمند نبود. این آموزش، یعنی جمع کردن غیر قابل تقسیم ها، پیش در آمدیبرای انتگرال گیری بود. کاوالیری نماد انتگرال را بکار نمی برد، ولی درواقع از انتگرال گیری استفاده می کرد…

به جز این، در هندسه یکاولیری به قضیه هایی بر می خوریم که برای پیدایش محاسبه ی دیفرانسیلی،ارزش معینی دارند. از آن جمله، نخستین گزاره ای که در هندسه آمده، هم ارزبا قضیه رول است، و به دنبال آن گزاره ای آمده است که مضمون آن اینست: درنقطه های ماکزیمم و می نیمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازیاست.

یکی از کمبود های جدی هندسه ی کاوالیری این است که مولف ازبکارگیری جبر فراری است و همه جا به هندسه دانان قدیمی تکیه می کند. بیتردید، بکار گیری نمادهای جبری که در زمان کاوالیری رایج شده بود، میتوانست کارهای او را دقیق تر، کامل تر و قابل درک تر کند.