آیا ریاضیات علمی منطقی است؟
منطق ریاضى، ترجمه mathematical logic است. از منطق ریاضى دو معنا مستفاد مى شود.

۱-منطق ریاضى به معناى خاص كه در واقع باید ترجمه The logic of mathematicباشد چرا كه ریاضیات مانند هر علم دیگرى از نظمهایى برخوردار است كه ایننظمها تحت عنوان منطق مى آید و منطق ریاضى به معناى خاص بررسى ریاضى ایننظمها یا قواعد است.

۲- معناى عامى هم براى منطق ریاضى متصور استكه عبارت است از: استفاده از روشها و تكنیكهاى ریاضى براى بررسى منطق. بهاین معنا كه منطق ریاضى یك علم كاربردى است و در مقوله ریاضیات كاربردىقرار مى گیرد. بین دو معناى عام و خاصى كه مطرح شد یك رابطه واقعى عام وخاص نیز وجود دارد.

كتاب «منطق ریاضى» ، كتابى به معناى خاص منطقریاضى است. یعنى بررسى منطق متعلق به ریاضیات نه منطق به معناى عام. درواقع باید گفت كه معناى آن اخص است. یعنى كتابى است براى بررسى ریاضیاتكلاسیك. شاید این سؤال پیش آید كه ریاضیات كلاسیك چیست؟ و مگر ریاضیات غیركلاسیك نیز وجود دارد.

آیا ریاضیات علمی منطقی است؟

جواباین است كه با توجه به نوع نگرش فلسفى كه نسبت به اشیاء ریاضى و عالمریاضى داریم ریاضیات غیر كلاسیك هم وجود دارد. به تسامح مى توان گفت كه درریاضیات كلاسیك شیوه هایى از استدلال و برهان وجود دارد كه در ریاضیاتغیركلاسیك مجاز نیست. به ویژه برهان خلف به عنوان یك برهان كه در ریاضیاتكلاسیك به كار مى رود در ریاضیات غیر كلاسیك بر قرار نیست و قاعدتاً منطقىرا مى طلبد كه با منطق ریاضیات كلاسیك متفاوت است. در این منطق، ریاضیاتساختى اصل طرد شق ثالث یك اصل معتبر ریاضى نیست. بنابراین منطق ریاضیاتساختى و به عبارت معروفتر منطق شهود گرایانه اصول و قواعد كمترى از منطقكلاسیك را دارد.

كتاب «منطق ریاضى» بسیار خاص است. یعنى عبارت استاز: بررسى منطق ریاضیات كلاسیك. اما بین این معناى خاص و عام منطق ریاضىرابطه واقعى وجود دارد. به این معنا كه حتى در معناى خاص منطق ریاضى ویژگىعام معنایى هم در این مورد وجود دارد. یعنى این كه ما از تكنیكها و روشهاىریاضیات در بررسى تحقیق درباره ریاضیات سود مى بریم. پس منطق ریاضى به دووجه ریاضى است. نخست اینكه موضوع آن موضوع منطق ریاضى است، دوم اینكه روشآن ریاضى است. یعنى اینكه در عالم ریاضیات با استفاده از اصول و قواعدریاضى، ما به موضوع منطق ریاضى مى پردازیم. پس منطق ریاضى به معناى عامبراى موضوع ریاضیات به دو وجه ریاضى است و این نكته اى نسبتاً مهم است.ریاضى بودن، روش تألیف دقیق دارد . اگر بخواهیم خیلى دقیق باشیم - و مناصرار به دقیق بودن آن دارم - این است كه وقتى مى گوییم روش ریاضى استیعنى در عالم نظریه، مجموعه اصول و قواعدى ما را مجاز مى كند كه چه اعمالىرا انجام دهیم و یا چه اعمالى را انجام ندهیم. اما اگر با مسامحه بخواهیمصحبت كنیم روش ریاضى همان علائم و نمادهایى است كه براى اشاره به اشیا واعمال جمع و ضرب و تقسیم به كار مى رود.

بدیهى است كه هر چه اینتكنیك ریاضى را در سطح بالاترى به كار بریم یعنى هر چه هزینه بیشترىبپردازیم چیز بهترى به دست مى آوریم به همین دلیل است كه غالباً قضایاىشگفت انگیز بنیان افكن علم ریاضى از تكنیكهاى پیشرفته اى در اثباتبرخوردار است و هر چه روش ریاضى را محدودتر كنیم طبعاً چیز كمترى به دستمى آوریم.

به معناى عام منطق ریاضى باز مى گردیم. اما منطق چیست .آیا واقعاً یك منطق وجود دارد و یا منطقهاى مختلفى وجود دارند؟ آیا هركدام از اینها روش خاص ریاضى را براى بحث مى طلبد؟ فارغ از اینكه ما چهتعریفى براى منطق قائل باشیم شكى نیست كه نقطه آغازین منطق ریاضى ابداعزبان مناسب است و این پیشفرض علمى منطق ریاضى است كه منطق یا به عبارتىدیگر نظمهاى تفكر در قالب زبان متجلى مى شوند. بنابراین زبان، بحث فلسفىعمیقى را مى طلبد. چیزى كه در قالب زبان نیاید در قلمرو كار منطق و ریاضىقرار نمى گیرد. این زبان، زبان طبیعى نیست گرچه با بررسى و تجزیه و تحلیلزبان طبیعى ساخته مى شوند. این زبان را اصطلاحاً «زبان صورى» مى گوییم. دراین زبان نمادهایى را به طور صورى ابداع مى كنیم كه این ابداع نمادها آنرا از زبان طبیعى جدا مى كند. اما در عین حال این نمادها بدون مبنا انتخابو ابداع نمى شوند.
این نمادها با تجزیه و تحلیل زبان طبیعى و اجزاىزبان طبیعى ساخته مى شود. بنابراین با تجزیه و تحلیل زبان سعى داریم مدلریاضى بسازیم. به عبارتى دیگر این بخشى از كار منطق ریاضى است كه ما براىنحوى از زبان ابتدا مدل ریاضى مى سازیم. اما مفاهیم دیگرى مثل مفهوم صدقیا حقیقت یا تعریف پذیرى در قلمرو معنا شناسى و دلالت شناسى قرار مىگیرند. قسمت دوم كار، مدل سازى براى معنا شناسى یا دلالت شناسى زبان است.اما در منطق ریاضى بین نحو كلام یا زبان و یا معناشناسى زبان براى جلوگیرىاز هر نوع خلط احتمالى جدایى است. نحو در زبان صورى چیزى شبیه گرامر ودستور زبان است. یكى از مسائل اساسى كه در این مرحله در منطق ریاضى به آنتوجه شده این است كه بین زبانى كه به عنوان شىء ساختیم و زبانى كه در آندرباره این شىء كه در زبان هست مى خواهیم صحبت كنیم، تمایز اساسى وجوددارد. بنابراین هوشمندى در زبان جلوگیرى از پارادوكسهایى است كه در طولتاریخ وجود داشته و غالباً ناشى از خلط زبان و مفاهیم فرا زبانى بود مثلعبارت پارادوكس دروغگو.

یكى از مفاهیمى كه به نوعى مشترك در زبانشناسى، فلسفه و منطق است و شاید یكى از مفاهیم بسیار اساسى باشد مفهوم«معنادارى» است. اما متأسفانه باید گفت هیچ كدام از این سه شاخه تا كنونقادر به ارائه یك مدل از آن نشده اند. در این زمینه تحقیقات همچنان ادامهدارد. از مفاهیم اساسى كه در نحو زبان وجود دارد مفهوم «برهان» است كه درمقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. یكى دیگر از علایق اساسى منطق ریاضى رابطهاین دو است. اینكه ما در نحو زبان مفاهیمى داریم و آنها را ابداع كردیم وهمین طور در دلالت شناسى زبان مفاهیمى را مدل سازى ریاضى كردیم و طبیعتاًروابط به این دو مقوله از علائق اساسى منطق است. اینكه آیا در یك دستگاهمنطقى گزاره اى مثل E اثبات یا استنتاج شود كاملاً یك مفهوم نحوى است كهچگونه یك جمله را از بقیه مفروضاتتان تولید كنید. تولید كاملاً یك مفهوممبتنى بر گرامر زبان است و از طرف دیگر بپرسید كه آیا این جمله راست استیا دروغ؟ یك مفهوم معنایى است اینكه خارج از زبان بین این دو چه رابطه اىوجود دارد و بررسى رابطه این دو مفهوم از علائق ذاتى بررسى منطق ریاضى است.

تدوینمنطق ریاضى اساساً كار سختى است ولى مى توان گفت بین سالهاى ۱۸۵۰ تا ۱۹۵۰این كار توسط چندین نفر صورت گرفته است. به نظر من ارسطو اولین كسى كه اینبنا را بنیاد نهاد. فارغ از اینكه منطق ارسطو از نظر منطق ریاضى چقدر موجهبنماید و مهم باشد، به نظر من كاخ عظیم منطق ریاضى را ارسطو ساخته است.این كاخ چنان مستحكم بود كه حداقل تا ۱۸۷۹ وقتى كه فرگه وارد میدان شد،دوام آورد و تصویر و تصور ما را با تجزیه و تحلیلى كه نسبت به زبان آغازكرد از منطق دگرگون كرد. منطق ارسطویى، تحلیلى را از اجزاى جمله شروع مىكند كه مبتنى بر موضوع محمول است و رابطه این تصویر را فرگه دگرگون كرد وآن را تبدیل به تابع و شناسه نمود. بدین ترتیب مفهومى ریاضى وارد میدان شدو تصویر و تصور ما را از مفهوم گزاره و جمله تغییر داد. علاوه بر این فرگهكارهاى دیگرى هم انجام داد كه بنیاد منطق ریاضى جدید مبتنى بر كارهاى فرگهاست.

سومین كسى كه كار انقلابى در منطق كرد اما مبتنى بر كارهاىفرگه بود گودل است. او در حوالى سالهاى ۱۹۳۱ و ۱۹۳۰ دو نوع قضایاى تمامیتو قضایاى نا تمامیت را ارائه كرد. قضیه تمامیت باز مى گردد به همان مفهومو سؤالى كه من در رابطه نحو و معناشناسى مطرح كردم. آیا در یك دستگاهمنطقى یك حكم یا یك گزاره قابل استنتاج صادق است و بالعكس در حكمى كه صادقاست هر معنایى در همه جهانهاى ممكن آیا این قابل استنتاج است و اگر ایندستگاه چنین ویژگى داشته باشد نشان دهنده این است كه این دستگاه كامل وتمام است. گودل در ۱۹۳۰ ثابت كرد كه این بنیانگذارى منطق بر شالوده تفكرفرگه براى منطق كامل هست. قضایاى نا تمامیت گودل پیچیده تر و البته مأیوسكننده تر براى تفكر بشرى است