راسل معتقد است ریاضیات خود دانشی است كه می بایست توسط اصول منطق موردمداقه قرار گیرد. این نظر به دسته ای تعلق دارد كه به «منطق گرایان» شهرتیافته اند. در مقابل چنین اندیشه ای متفكرانی نظیر دكارت قرار دارند.«دكارت چنین تفكری را تلقین كرده بود كه فلسفه هنگامی صحیح و درست خواهدشد كه مانند ریاضیات ثابت شود، هرچند خود هیچ گاه این فكر را عملی نكردهبود.»
باروخ اسپینوزا - متفكر شهیر هلندی - تلاش كرد این تفكر را عملی سازد.
۱)«دور نیست كه شمردن اعداد، قدیمی ترین شكل سخن گفتن بوده باشد.» این جملهرا «ویل دورانت» در اثر مهم خود «تاریخ تمدن» می گوید. یعنی مدت زمانیطولانی پیش از آنكه حكمای قدیم قائل به اقسام سه گانه و حكمت شوند كه«ریاضی» از جمله آنهاست. ۱ در واقع ریاضیات نه متولد كه كشف می شود. البتهدر باب ادعای ویل دورانت كه خود نیز با تردید ابراز می شود، نمی توان باقاطعیت بحث كرد اما حتی صرف نظر كردن از دیدگاه دورانت، خدشه ای به منظورنهایی كه مدنظر او نیز هست، وارد نمی كند. «ریاضیات زاییده احتیاج است ازاین روی در آغاز عینی و مبتنی بر تجربه بود.»۲ «حفظ حیات» پس از تولد،بدیهی ترین نیاز بشر است كه با اتكا به ابزار و شیوه های گوناگون در رسیدنبه آن می كوشید. پیش از آنكه انسان پا از غار بیرون نهد و در اعماق تاریخبه كشف كشاورزی و شیوه های نوینی از رفع نیاز دست یابد، تجربه با او بود.هرچند تجربه ای ابتدایی اما محاسبه می كرد كه چه تعداد شكار برای مدتیمعین او را سرپا نگه خواهد داشت.
مجموعه «فرهنگ بشری» به صورت مدون،تاریخی به قدمت غارنشینی یا حتی كشف كشاورزی ندارد اما شالوده ای است كهنكه مایه مباهات بشریت است زیرا از طریق یكی از مشتقات خود به نام«تكنولوژی» جهانی برای انسان ساخته است تا آسوده تر از پیش زندگی كند.
صرفسخن گفتن از نقش ریاضیات در تكنولوژی و فناوری های نوین و اتكای علوممختلف بر آن، به قصد نمایش اهمیت ریاضی، هرچند بیان بخشی از واقعیت استاما در واقع فروكاستن نقش آن به همین جنبه عینی از «فرهنگ بشری» كه روزمرهبا آن سروكار داریم، غفلت از بخش مهم تر است كه تاریخ طولانی ریاضیات آنرا تصدیق می كند زیرا «ریاضیات به علت داشتن تاریخ طولانی، انبوه متراكمیاز دانسته ها گرد آورده كه بخش مهمی از فرهنگ بشری را تشكیل می دهد.»۳
ریاضیاتبه مفهوم امروزین، و به خودی خود، علمی است به غایت مجرد. آنچه كه دردانشكده های علوم ریاضی و به عنوان یك علم پایه تدریس می شود به ظاهرارتباطی با دنیای بیرون ندارد. عده ای دانشجو با استادشان، تنها اتاقی راخواهانند با صفحه ای نصب بر دیوار و قلم و كاغذی كه به دنیای خود پردازند.نه نیازی به آزمایشگاه های بزرگ و مجهز شیمی، فیزیك، زیست شناسی یا زمینشناسی دارند و نه سروصدای كارگاه های فنی و مهندسی را تحمل می كنند والبته نیازی به زمین های وسیع رشته های كشاورزی احساس نمی كنند. زیرا خودرا بی نیاز از همه چیز، متصل به علمی اشرافی می كنند كه در عین بی نیازی ودارایی، سخاوتمندانه گنج های باارزش خود را از محیطی آرام و كوچك بهكارگاه ها، آزمایشگاه ها و دنیای رنگارنگ و پرسر و صدا تقدیم می كند بیآنكه چشمداشتی بدان ها داشته باشد و در عین حال در نمایش تفاوتش با دیگرعلوم و به رخ كشیدن جایگاه رفیع خود نیز تردیدی نشان نمی دهد.
۲)ریاضیات در آغاز اینچنین مجرد نبود و چندان با مفاهیم انتزاعی سر و كارینداشت. پس از دوران اوج پیشرفت علم یا «عصر طلایی» در یونان یعنی دورهمردانی چون «اقلیدس»، «ارشمیدس» و «آپولونیوس» و با افول این دوره و هجرتریاضیات از یونان به هندوستان، این علم به شدت عینی بود و كمتر مجرد.ریاضیات كهن پس از هندویان، در قرن هفت میلادی و با ظهور اسلام، پیشرفتخود را مدیون همت مسلمانان در ترجمه گنجینه های یونان و هند به زبان عربیو گستردن آن در اقطار جهان می داند. با تولد دانشگاه ها در قرن ۱۳ و ترجمهمتقابل كتاب های علمی مسلمانان و با وجود سپری شدن دوران فترت پیش ازرنسانس و حتی تا پیش از قرن هفدهم، ریاضیات همچنان عینیت خود را حفظ كردهبود. اما این قرن كه آن را «قرن گذار از ریاضیات كهن به ریاضیات نوین» مینامند آغاز تحولات بسیار مهمی در ریاضیات بود. پیشرفت های عظیمی در رشتههای گوناگون ریاضیات رخ داد: هندسه تحلیلی فرما و دكارت، محاسبه جامعه وفاضله نیوتن و لایب نیتس، آنالیز تركیبی و حساب احتمالات فرما و پاسكال،حساب عالی فرما و... قرن نوزدهم اتفاقات تازه ای را نوید می داد.
رستنهندسه از قیود قوانین هندسه اقلیدسی و این یعنی پایان حكمفرمایی هندسهاقلیدس و به وجود آمدن هندسه های نااقلیدسی، استقلال جبر از حساب كه پیشاز این دنباله ای از آن به شمار می رفت و حال به طور مستقل به پیشرفتاعجاب انگیز خود ادامه می داد. البته تمامی این تحولات شگرف مساوی بود بادور شدن ریاضیات از عینیت و گراییدن آن به تجرید و نیز از میان رفتن بداهتو قطعیت در آن. به قول برتراند راسل ریاضیات موضوعی است كه در آن هرگز نمیدانیم از چه سخن می گوییم و به درستی آنچه هم می گوییم، اطمینان نداریم.
ویا نابغه ریاضی قرن نوزدهم و اوایل قرن ۲۰ هانری پوانكاره ریاضیات را«اطلاق یك نام بر چیزهایی بسیار» می داند. توجه به نكته ای در این سخنانمهم است. نباید قول برتراند راسل چنین تصوری را ایجاد كند كه ریاضیات علمغیردقیقی است. شاید معنای این سخن را بیش از هر كس، دانشجویی درك كند كهكلاس هایی نظیر «جبر» در دوره كارشناسی را تجربه كرده است یا آن دسته ازدانشجویانی كه در دوره های كارشناسی ارشد و یا دكترا به صورت تخصصی بهگرایشی چون «جبر» یا «آنالیز» می پردازند. اظهارات ریاضیدان برجسته ای چون«جان فون نویمان» درباره حساب دیفرانسیل و انتگرال، كمی به درك این مطلبكمك می كند: «حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است ودرك اهمیت آن كار آسانی نیست. به عقیده من این حساب روشن تر از هر مبحثدیگری مرحله آغازی ریاضیات نوین را توصیف می كند و نظام آنالیز ریاضی كهتوسیع منطقی آن است، هنوز بزرگ ترین پیشرفت فنی در تفكر دقیق به شمار میآید.»۴
۳) ریاضیات به همان اندازه كه «بزرگ» و «پرابهت» است، مناقشه دراطرافش نیز بسیار. «ریاضیات با مفاهیم انتزاعی سرو كار دارد و كاربرد اینمفاهیم انتزاعی در مورد واقعیت های مشخصی كه در علوم دیگر مورد بحث وبررسی هستند، مستلزم ندیده گرفتن ویژگی های خاص و تجربی و مشخص آن واقعیتها است.»۵ به همین دلیل عامه مردم آن را سخت و معضل می دانند و عمدتاًضرورتی نمی بینند كه ریاضیات را به عنوان یك مطالعه جنبی و در برنامهروزانه خود بگنجانند و حال آنكه اطلاع از اخبار پیشرفت های سایر علومجذابیت بیشتری برای آنها دارد. علومی كه متكی به ریاضیات هستند.
آنهامثل فردی هستند كه از كاركردن با سیستم عامل رایانه خود لذت می برد و بانرم افزارهای گوناگون به فعالیت كاری می پردازد، موسیقی گوش داده و فیلمتماشا می كند اما علاقه ای به تخصصی چون «برنامه نویسی» از خود نشان نمیدهد و البته شاید متوجه نیست كه در پس هر «كلیك» و گوش فرادادن به نوایموسیقی آرام بخش، دستان پرتوان یك برنامه نویس و نقش اساسی برنامه ایمدون، پیچیده و دقیق كامپیوتری وجود دارد. هرچند، نظر عامه، دخیل درمناقشات عمده درباره ریاضیات نیست. سرچشمه اختلاف دیدگاه ها را باید دربین روشنفكران یا بهتر است بگوییم فلاسفه جست وجو كرد. همانان به ریاضیاتاهمیت زیادی قائلند و تقریباً تمامی فلاسفه اگر به صورت مستقیم ارتباطی بااین علم نداشته اند، دست كم دغدغه ریاضیات یا روش ریاضی وار را در ذهنداشته اند. مثلاً افرادی چون افلاطون و برتراند راسل (هر دو از نام آورانفلسفه، یكی در قدیم و دیگری دوران متاخر) معتقدند: «ریاضیات مقدمه ضروریفلسفه و شكل عالی تر آن است [چنان كه] بر سردر آكادمی افلاطون این جملهمحكم نوشته شده بود، آنكه هندسه نداند، اینجا نباید بیاید» یا ارسطو -شاگرد افلاطون - معتقد است: «افلاطون از مثل همان را قصد كرده است كهفیثاغورث از اعداد می كند و اعداد را اصل و جوهر اشیا می داند (احتمال میرود كه مقصودش آن بود كه عالم بالتمام با قوانین ریاضی اداره می شود).»۶با این حال، راسل معتقد است ریاضیات خود دانشی است كه می بایست توسط اصولمنطق مورد مداقه قرار گیرد. این نظر به دسته ای تعلق دارد كه به «منطقگرایان» شهرت یافته اند. در مقابل چنین اندیشه ای متفكرانی نظیر دكارتقرار دارند. «دكارت چنین تفكری را تلقین كرده بود كه فلسفه هنگامی صحیح ودرست خواهد شد كه مانند ریاضیات ثابت شود، هرچند خود هیچ گاه این فكر راعملی نكرده بود.» ۷ باروخ اسپینوزا - متفكر شهیر هلندی - تلاش كرد اینتفكر را عملی سازد.
او معتقد بود: «بالاترین علم، علم حضوری و استدلالبی واسطه است مانند آن كه از ملاحظه ۳‎/x=۴/۲ فوراً درمی یابیم كه جای Xباید عدد شش باشد و یا مثل علم به اینكه كل بزرگ تر از جزء خویش است. بهعقیده وی ریاضیدانان بیشتر قضایای اقلیدس را از روی این علم شهودی حضوریدرمی یابند.» ۸ اسپینوزا با همین اندیشه به تالیف اثر عظیم خود یعنی«رساله اخلاق» همت گماشت كه «البته این عمل ایجاز و درهم فشردگی معضلی بارآورده است كه برای هر سطر كتاب یك شرح كش سان لازم است.» ۹
بعدها و دراوایل قرن بیستم، فلسفه جدیدی به نام «شهودگرایی» شكل گرفت كه به زعم خویشبدعت منطق گرایان را رد كرده و رجعتی به گذشته داشت. آنان مبتنی بودنریاضیات بر منطق را رد كرده و آن را متكی بر شهود و تجربه دانستند.
بانیاین تفكر هموطن اسپینوزا یعنی لوتیسن اگبر توس یان بروئور ریاضیدان بود.در نگاه اولیه، این فلسفه بیشتر به عینیت هندویان نزدیك است و از تجرید بهدور. شاید بتوان گفت به نوعی شهودگرایان، هندویان جدید هستند یا پیروانهندویان قدیم و منطق گرایان، یونانیان جدید یا پیرو یونانیان قدیم.
البتهزمانی كه پا به دوران جدید می گذاریم می بایست محتاطانه با مسئله برخوردكرد. چون به طور عام، علوم و به خصوص علم ریاضیات در مسیر خود، به اندازهای دچار تحول شده اند كه جز شباهت اسمی، در بسیاری موارد هیچ قرابتی بینآنچه اكنون در دست است با آنچه به فرض در دوران باستان در جریان بوده، نمیتوان مشاهده كرد. مشابه همان مطلبی كه ویل دورانت در «تاریخ فلسفه» ودرباره ارسطو مطرح می كند یعنی دانش ارسطو در زمینه علم سماوی در برابرواقعیات آن یا آنچه اكنون و به پشتوانه پیشرفت های علمی در این باره حاصلشده را جز جهالت بی انتها نمی داند. شاید بهتر است بگوییم منطق گرایی وشهودگرایی به ترتیب مفاهیمی استحاله یافته از تجرید گرایی یونانی و عینیتهندویان هستند.
گروهی دیگر نیز، البته هستند كه هر دو این مفاهیم را ردمی كنند. «صورت گرایی» همان گرایشی در ریاضیات است كه هواخواهانش بنیانریاضیات را نه بر منطق می دانند و نه بر شهود، بلكه آن را مشتی علامت میدانند كه با آنها اعمال ریاضی به جا می آیند.
با وجود تمامی دعواها وتمجیدهایی كه در حاشیه این پیكره عظیم در جریان است، ریاضیات بی اعتنا بهراه خود ادامه می دهد. این آفریده سترگ الهی غیر از مقصود ظاهری كه وسیلهای است در دست انسان برای حیات معنایی ژرف در درون دارد. ابزاری است برایكسب معرفت. ابزاری كه «هم مورد نیاز مردان جنگی است و هم مورد نیاز فلاسفهتا بدان وسیله بتوانند از جهان كون و فساد درگذشته و به عالم وجود ارتقایابند. زیرا شرط حسابدان حقیقی همین است.»۱۰ و در ورای خدمات خود وسیله ایاست كه انسان بدان «روح خود را از محیط عالم فانی به مقام ادراك حقیقتوجود ارتقا می دهد.»۱۱ افلاطون در راه ساختن آرمان شهر خود و وصول به «اصلخیر» بر حساب و هندسه تكیه دارد. او موضوع هندسه را كه آن را به كل بزرگترخود یعنی ریاضیات تعمیم می دهیم چنین برمی شمارد: «موضوع هندسه هماناشناخت وجود لایزال است نه شناخت آن چیزهایی كه در زمان و مكان معینی تولیدو سپس فانی می شوند.»۱۲
ریاضیات به واقع رب النوع علوم دنیا است وآبشخور همگی به شمار می آید. فلاسفه در برابرش خاشعند و هماره به پرستشاین خدایگان دانش مشغول. برتراند راسل كه به قول دورانت برای او خدایی جزریاضیات وجود ندارد، عشق خود به ریاضیات را به زیبایی تمام بیان می دارد.در حقیقت عشق راسل به روشنی و صراحت او را به صراحت آرام این علم اشرافیمی كشاند؛ «اگر درست بنگریم ریاضیات نه تنها حقیقت را دربردارد بلكهبالاترین زیبایی را نیز شامل است. زیبایی آن مانند مجسمه ها سرد و سخت استو با هیچ یك از جنبه های ضعف ما سر و كار ندارد. فریبندگی باشكوه نقاشی وموسیقی را فاقد است و قادر است به كمال محض كه فقط برترین هنر می تواندنمایش دهد، برسد.»