مثال اول
حساب احتمالات در واقع چیزی جز عقل سلیم نیست که به محاسبه درآمده است. این حساب چیزی را که صاحبان فکر بدون آن که متوجه باشند به غریزه در مییابند، با دقت و صحت بیان میدارد. این علم که با ملاحظات مربوط به زبانهای شانسی وتصادف بوجود آمد، امروزه آنچنان اهمیتی یافته است که از مهمترین مسائل معرفت آدمی به شمار میآید.
بییر سیمون لاپلاس

مثال دوم
قبل از اقلیدس هندسه عبارت بود از مجموعه قواعدی که ماحصل تجارب و ادراکات متفرق بودهاند و هیچ ارتباطی با یکدیگر نداشتهاند و هیچ کس حتی حدس نمیزد که مجموعه این قواعد را ممکن است از عده بسیار کمی اصول نتیجه گرفت. امروزه استدلال ریاضی تا آن حد جزء اساس و مبنای این علم به شمار میرود که حتی تصور این موضوع نیز برای ما ممکن نیست که ریاضیات بدون استدلال چه وضع و حالی داشته است.
ای. تی. بل

مثال سوم
اگر اکتشافهای گاوس در موقع خود ، به اطلاع مردم رسیده بود، مانع میگردید که کوشی ، آبل ، ژاکوبی و بسیاری ریاضیدانان دیگر ، وقت خود را در مسائلی تلف کنند که وی قبلا آنها را حل کرده بود و نیز موجب پیشرفت عظیمی در علوم ریاضی میشد. متاسفانه گاوس که شخصی تندخو و ترشرو بود و لجاجتی بیمانند داشت، فقط وقتی اکتشافهای خود را انتشار میداد که کاملا تمام و از قید طرح و چوب بستی که برای ساختن آن ایجاد گردیده بود، فارغ شده باشد.

دوستانش میل داشتند که وی متون واضحتری برای ایشان بنویسد یا روش خود را در حصول نتیجه به آنان بگوید. اما گاوس جواب داد که فقط برای تبعیت از طبع خود کار میکند، نه برای آموختن به دیگران. بنابراین ، همواره اکتشافهای خود را به صورت معماهایی از این قبیل یادداشت میکرد: یافتم: عدد= ∆+∆+∆ (یعنی هر عدد صحیح مثبت ، مساوی با مجموع سه عدد مثلث شکل است، از قبیل اعداد ۱ ، ۳ ، ۶ و غیره. این اعداد را از آن جهت مثلث شکل میگویند که عبارتاند از مجموع اعداد متوالی ابتدا از واحد که میتوانند به صورت مثلثی نوشته شوند.
پییر روسو

مثال چهارم
اولین شاخه و انشعاب علمی ، آن شعبهای بود که مطلقا احتیاج به تجربه نداشت و برای پیدایش آن حداقل توجه و علاقمندی لازم بود. اما چه کسی برای این کار علاقمندتر از چوپانی است که چون گله خود را به چراگاه میبرد، شبانگاه هنگام مراجعت میخواهد بداند که همه آنها به جای خود هستند یا نه؟ خواهید گفت که برای اطمینان از این مطلب کافی بود که چوپان گوسفندان خود را بشمارد، اما چوپان عهد حجر هنوز شمردن نمیدانست و با این حال طبعا جهل او مانع آن نمیگردید که وی تعداد واقعی آنها را معین نکند.

مرغ خانگی نیز که حساب و حساب کردن نمیداند هنگامی که یکی از جوجگان او غایب باشند ناله و فریاد میکند و او را میطلبد. اما به زودی چه چپان و چه آن کشاورزی که احتیاج داشت تا وسعت مزرعه خود را تعیین کند و چه بسیار کسان دیگر در نتیجه احتیاج مجبور شدند نوعی وسیله شمارش دقیقتر ، غیر از غریزه طبیعی خود ، بوجود آورند و برای این کار انگشتان دست ، دستگاه حساب کردن آماده و مهیایی بود.
پییر روسو

مثال پنجم
این قدر میدانم که در حدود سال ۴۵۰ قبل از میلاد مسیح یونانیان دارای هندسهای بدوی و مقدماتی بودهاند: موضوع این هندسه فقط طریقههای عملی و دستورهای قابل استفاده در اندازهگیری طول پارچه یا میزان محصول زیتون نبوده است، بلکه استدلالها وبراهین منطقی متصل به یکدیگر دیده میشد که در حدود هندسه مقدماتی ما بودهاند. بدون شک این استدلالها آنقدرها دقیق نبوده است و بیشتر از الهام و مکاشفه استفاده میکردند تا از منطق و بیشتر آنها مربوط به ساختمانهای هندسی بوده است.
پییر روسو