ریاضیات را بیشتر دانش بررسی کمیتها و ساختارها و فضا و دگرگونی (تغییر)تعریف میکنند. دیدگاه دیگری ریاضی را دانشی میداند که در آن با استدلالمنطقی از اصول و تعریفها به نتایج دقیق و جدیدی میرسیم (دیدگاههایدیگری نیز در فلسفه ریاضیات بیان شدهاست).

ریاضیات خود یکی ازعلوم طبیعی به شمار نمیرود، ولی ساختارهای ویژهای که ریاضیدانانمیپژوهند بیشتر از دانشهای طبیعی بهویژه فیزیک سرچشمه میگیرند و درفضایی جدا از طبیعت و محض گونه گسترش پیدا میکند به طوری که علوم طبیعیبرای حل مسائل خود به ریاضی باز میگردند تا جوابشان را با آن مقایسه وبررسی کنند.


علوم طبیعی، مهندسی، اقتصاد و پزشکی بسیار بهریاضیات تکیه دارد ولی گاه ریاضیدانان به دلایل صرفاً ریاضی (و نهکاربردی) به تعریف و بررسی برخی ساختارها میپردازند.


تاریخچه

مصریانباستان، بیش از ۵ هزار سال پیش، برای اندازه گیری و نقشه برداری زمین وساختن اهرام با دقت بسیار بالا، از حساب از حساب و هندسه استفادهمیکردند. علم حساب با اعداد و محاسبه سر و کار دارد. در حساب، چهار عملاصلی عبارتند از: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم. هندسه علم مطالعه خط ها، زاویهها، شکل ها، و حجمها است. یونانیهایی چون اقلیدس، حدود ۲۵۰۰ سال قبل،بیشتر قوانین اصلی هندسه (قضایای هندسه) را تعیین کردند. جبر نوعی خلاصهنویسی ریاضیات است که در آن برای نشان دادن کمّیتهای نامعلوم، از علائمیچون x و y استفاده می شود. این علم را نیز دانشمندان ایرانی، حدود ۱۲۰۰سال قبل توسعه دادند. حساب، هندسه و جبر، پایههای ریاضیات هستند.

ریاضیاتنوعی زبان علمی است. مهندسان، فیزیکدانان، و سایر دانشمندان، همگی ازریاضیات در کارهایشان استفاده می کنند. سایر کارشناسان که به مطالعهاعداد، کمّیت ها، شکلها و فضا به شکل محض علاقه دارند، ریاضیات محض(غیرکاربردی) را به کار می گیرند. نظریه اعداد که شامل مطالعه کل اعداد ونحوه عمل آنهاست، نمونه ای از شاخههای ریاضیات محض به شمار می آید. دردنیای جدید، ریاضیات یکی از عناصر کلیدی علوم الکترونیک و رایانه به شمارمیآید.
کمیت
کمیت
مجموعه، رابطه، تابع، عمل،گروه، میدان، عدد، اعداد طبیعی، اعداد حسابی، اعداد صحیح، اعداد اول،اعداد مرکب، اعداد گویا، اعداد گنگ، اعداد حقیقی، اعداد مختلط، اعدادجبری، عدد پی، عدد ای، چهارگانها، هشتگانها، شانزدهگانها، اعدادپی-ادیک، اعداد فوق پیچیده (Hypercomplex numbers)، اعداد فوق حقیقی(Hyperreal number)، اعداد فراواقعی (Surreal numbers)، بینهایت، اعدادترتیبی، اعداد اصلی، ثابتهای ریاضی، پایه





ساختار


جبرمجرد، نظریه اعداد، هندسه جبری، نظریه گروهها، مونوئیدها، آنالیز ریاضی،آنالیز تابعی، توپولوژی، جبر خطی، نظریه گراف، جبر عمومی، نظریه مدولها،نظریه ترتیب، نظریه مزور

فضا
توپولوژی، هندسه، مثلثات، هندسه جبری، هندسه دیفرانسیل، توپولوژی دیفرانسیل، توپولوژی جبری، جبر خطی، هندسه برخالها، متری

تغییر
حساب، حسابان، حساب برداری، آنالیز ریاضی، معادلات دیفرانسیل، سیستمهای دینامیکی، نظریه آشوب، فهرست تابعها

حساب، حسابان، حساب برداری، آنالیز ریاضی، معادلات دیفرانسیل، سیستمهای دینامیکی، نظریه آشوب، فهرست تابعها



پایهها و روشهای ریاضیات


فلسفهریاضیات، شهودگرایی، ساختگرائی، مبانی ریاضیات، نظریه مجموعهها، منطقنمادی، نظریه مدل، نظریه رستهها، منطق ریاضی، ریاضیات معکوس، جدولنمادهای ریاضی


ریاضیات گسسته

ترکیبیات، نظریه شهودی مجموعهها، نظریه رایانش، رمزنگاری، نظریه گراف


ریاضیات کاربردی

فیزیکریاضی، مکانیک، مکانیک سیالات، آنالیز عددی، بهینهسازی، احتمالات، آمار،اقتصاد ریاضی، ریاضیات مالی، نظریه بازیها، ریاضیات زیستی، رمزنگاری،نظریه اطلاعات

************************************************
برتراندراسل زمانیکه دربارهٔ روش بُنداشتی (اصل موضوعی) سخن میگفت که در آن برخیویژگیهای یک ساختار (که چیزی از آن نمیدانیم) فرض میشود و پیامدهای اینفرض از راه منطق نتیجهگیری میشود
============
گفت:« ریاضیاترا میتوان رشتهای تعریف کرد که در آن نه معلوم است از چه سخن میگوییم ونه میدانیم آنچهکه میگوییم صحت دارد. »

—برتراند راسل
=============
« ما در ریاضیات مطالب را نمیفهمیم، بلکه تنها به آنها عادت میکنیم.
—جان فون نویم