1- واقعا تابحال فکر کردین که چرا زنبور عسل خونش رو بصورت شش ضلعی منتظم میسازه؟

2-اولین نکته ای که هست اینه که زنبور باید از میان تمام شکلهایهندسی،شکلهایی رو انتخاب کنه که "کاملا متقارن" هستند تا تفاوتی نکنه کهزنبور از کجا وارد خانه میشه،از بالا یا پایین یا چپ یا راست.شکلهای کاملامتقارن عبارتند از 3 ضلعی منتظم (مثلث متساوی الاضلاع) 4 ضلعی منتظم(لوزی)5 ضلعی منتظم،6ضلعی منتظم،7 ضلعی منتظم و ... و بینهایت ضلعیمنتظم(دایره!!!). شکلی مثل مثلث متساوی الساقین یا مستطیل کاملا متقارننیستند.اگر بخوام تعریف دقیتری از کاملا متقارن بودن ارائه کنم باید تعداداضلاع شکل رو در نظر گرفت.مربع که نوع خاصی از لوزیه 4 ضلع داره و از 4راستا هم متقارنه(راستای طول،عرض،قطر اصلی و قطر فرعی) خود لوزی هم از 4راستا متقارنه(میتونین اون 4 راستا رو پیدا کنید؟!!!) مثلث متساوی الاضلاع3 ضلع داره و از 3 راستا هم متقارنه اما مثلث متساوی الساقین تنها از یکراستا متقارنه.مستطیل هم تنها در دو راستا متقارنه.

3-دومین نکته در مورد انتخاب شکلها برای ساخت خانه زنبور اینه که شکلهاکاملا در کنار هم چفت بشن یعنی بعد از کنار هم چیده شدنشون فضای خالیبینشون وجود نداشته باشه.شما اگر 10 تا دایره رو کنار هم قرار بدین بوضحفضای خالی زیادی بین دایره ها خواهید داشت اما میتونین 10 مربع رو بدونایجاد حتی ذره ای فضای زائد در کنار هم بچینید.از بین تمام شکلهای کاملامتقارن تنها 3 ، 4 و 6 ضلعی منظم این قابلیت رو دارن!!! (5 ضلعی منتظم اینخاصیت رو نداره مثلا اگر 5 تا 5 ضلعی منتظم رو دور تا دور یک 5 ضلعی منتظمبچینید شکلی شبیه یک گل 5 پر ایجاد میشه که لابلای گلبرگهاش فاصله یا همونفضای زائد وجود داره!!!)

4-حال ببینیم چرا زنبور از بین 3 شکل مناسب 6 ضلعی منتظم رو انتخابمیکنه.جواب خیلی سادست.زنبور شکلی رو انتخاب میکنه که با مصرف موممشخص،بیشترین فضا رو در اختیارش قرار بده یعنی در واقع شکلی رو برمیگزینهکه بتونه باهاش با مقدار معین مصالح،بزرگترین خانه ی ممکن رو بسازه.بهزبان ریاضی زنبور شکلی رو انتخاب میکنه که به ازای محیط ثابت،بیشترینمساحت رو داشته باشه.

5-اجازه بدید قبل از اینکه بین 3 شکل بحث کنیم تکلیفمون رو با 4 ضلعی منتظم(لوزی) مشخص کنیم.در بین تمام لوزی های ممکن با محیط ثابت،مربع بیشترینمساحت رو تولید میکنه.در واقع لوزی 4 زاویه داره که دو به دو با هم مساوینپس میشه به هر لوزی دو عدد رو نسبت داد.زاویه ماکزیمم و زاویه مینیمم.بوضحهر چه اختلاف این دو عدد بیشتر باشه لوزی شکل کشیده تری داره و دارایمساحت کمتریه و بیشترین مساحت وقتی رخ میده که اختلاف بین زاویه ماکزیمم ومینیمم حداقل (یعنی صفر) باشه یعنی وقتی که هر چهار زاویه ی لوزی 90 درجهباشه یعنی یک مربع داشته باشیم.اگر بخوام ریاضی تر این بحث رو دنبال کنمباید بگم که اگر زاویه ماکزیمم رو با a و زاویه مینیمم رو با b نشون بدینداریم a+b=180 لذا میتونین به هر لوزی در واقع یک زاویه مثلا a رو نسبتبدین.براحتی میتونین اثبات کنید که مساحت لوزی برابر است با (2sin(a و اینمقدار وقتی حداکثر که مشتقش یعنی (2cos(a برابر باشه با صفر یعنی a=90یعنی همونطور که گفتم هر چهار زاویه لوزی 90 درجه باشند.

۶-پس در نهایت به این نتیجه رسیدیم که زنبور باید از بین مثلث متساویالاضلاع،مربع و 6 ضلعی منتظم یکی رو انتخاب کنه.فرض کنید هر سه ی اینشکلهای محیطی برابر با یک داشته باشه.میخوایم مساحت هر کدوم را حساب کنیمو نشون بدیم که مساحت 6 ضلعی منتظم از همشون بیشتره.طول هر ضلع مثلثمتساوی الاضلاع با محیط 1 برابر است با یک سوم.با استفاده از قضیه یفیثاغورت براحتی میتونین محاسبه کنید که ارتفاع این مثلث برابر است با یکروی 3√2 پس مساحت این مثلث برابر است با یک روی 3√12 که تقریبا برابر استبا 0.048 .یک مربع با محیط یک دارای اضلاعی بطول یک چهارمه و بوضوح مساحتاین مربع یک شانزدهم خواهد شد که تقریبا 0.062 اما شش ضلعی منتظم.طول هرضلع یک 6 ضلعی منتظم با محیط یک برابر یک ششم است.در واقع 6 ضلعی منتظم از6 مثلث متساوی الاضلاع به طول یک ششم تشکیل شده است پس مساحت یک مثلثمتساوی الاضلاع بطول یک ششم رو محاسبه کرده آنرا در 6 ضرب میکنیم تا مساحت6 ضلعی منتظم بدست بیاید. مشابها ارتفاع این مثلث برابر با 3√ روی 12پسمساحت این مثلث برابر است با 3√ روی 144 لذا مساحت شش ضلعی منتظم شش برابراین مساحت است یعنی 3√ روی 24 که تقریبا برابر است با 0.072 لذا ثابتکردیم که اگر مثلث متساوی الاضلاع،مربع و 6 ضلعی منتظم دارای محیط یکسانباشند 6 ضلعی منتظم مساحت بیشتری ایجاد خواهد کرد!!!

7-زنبورها ریاضیدانان قابلی هستند.البته اون کسی که این قابلیت رو در وجوداونها نهاده ریاضیدان بسیار قابل تریه یعنی خداوندی که دنیا رو بر اساساصول ریاضی آفرید...