[align=center]اصل عدم قطبیت هایزنبرگ نشان میدهد که هر نوع کوشش در راه جامعتر و دقیق کردن مدل بوهر ، بینتیجه است، زیرا تعیین دقیق مسیر الکترون در یک اتم ناممکن است. از سوی دیگر ، "شرودینگر" ، رابطه دوبروی را برای تدوین معادلهای بکار برد که الکترون را برحسب خصلت موجی آن توصیف میکند.

معادله شرودینگر پایه مکانیک موجی است. معادله برحسب یک تابع موجی برای الکترون نوشته میشود. وقتی معادله برای الکترون در اتم هیدروژن حل میشود، یک سلسله تابع موجی بدست میآید. هر تابع موجی به یک حالت معین انرژی برای الکترون مربوط است و ناحیهای در اطراف هسته را توضیح میدهد که در آن ، امکان یافتن الکترون وجود دارد. تابع موجی یک الکترون آنچه را که یک اوربیتال نامیده میشود، توضیح میدهد.

شدت هر موج ، با مجذور دامنه آن متناسب است. تابع موجی ، ، تابع دامنه است. مقدار برای یک حجم کوچک در هر موقعیتی در فضا ، متناسب با چگالی بار الکترونی در آن حجم است.

میتوان تصور کرد که بار الکترون به سبب حرکت سریع الکترون به صورت ابر باردار در فضای دور هسته گسترده شده است. این ابر در برخی نواحی غلیظتر از نواحی دیگر است. احتمال یافتن الکترون در هر ناحیه معین متناسب با چگالی ابر الکترونی در آن ناحیه است. این احتمال در ناحیهای که ابر الکترونی غلیظتر است، بیشتر خواهد بود. این تفسیر کوششی برای توصیف مسیر الکترون ، به عمل نمیآورند، بلکه فقط پیش بینی میکند که احتمال یافتن الکترون در کجا بیشتر است.








معادلهٔ شرودینگر، اساسیترین مُعادله غیر نسبی در مکانیک کوانتومی برای توجیه حالت یک ذره است. معادله شرودینگر سال ۱۹۲۶ توسط اروین شرودینگر به ثبت رسید و پس از او نیز هایزنبرگ معادله برابری را به صورت نگاشتهای خطی و عملگرهای جابجایی به وجود آورد. معادله شرودینگر در حالت ساده به صورت زیر است:


در اینجا H یک نگاشت خطی در فضای (اصولاً بینهایت بعدی) هیلبرت است و نگاشت خطی همیلتونی نام دارد. مقادیر ویژهٔ این نگاشت اصولاً مقادیر کوانتومی انرژی هستند.‎ |ψ>‎, یک بردار در فضایِ هیلبرت است، که حالت ذره را توصیف میکند. اگر این بردار را به صورت یک تابع زمان و مکان بنویسیم، معادله شرودینگر چنین حالتی پیدا میکند:



البته اگر ما ‎|ψn>‎, را به عنوان بردار ویژهٔ H انتخاب کنیم، آنوقت این معادله دیگر متغیر زمانی نخواهد داشت.





با در نظر گرفتن نظریهٔ نسبیت، معادلهٔ شرودینگر دیگر صادق نیست و در این حالت از معادله
دیراک که کلیتر است استفاده میشود




منابع

David J. Griffiths (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 013805326X.
Shankar, R., Principles of Quantum Mechanics, 2nd edition (Plenum, 1994[/align]