همه شما حتي اگر از هندسه نيز چيزيندانيد بارها نام آن را شنيده ايد. و حتماً مي دانيد كه «جبر، حساب وهندسه» سه شاخه مهم از رياضيات است، همين سه عنوان در رياضيات پايه گذارپيشرفت در تمام علوم محسوب مي شوند.

شايد همين حس مسئوليتي كه رياضيات بهتمام بخش هاي علوم دارد آن را بسيار جدي و در نظر بسياري، علمي خشك و درعين حال سخت جلوه داده است. در اين ميان هندسه نقش بسيار مهمي را حتي درشاخه هاي رياضي برعهده دارد. هندسه كه مي توان به آن علم بازي با اشكاللقب داد، خود پايه گذار ديگر شاخه هاي رياضي است. زيرا تمام قسمت هاي ديگردر رياضيات و علوم ديگر تا به صورت مشهودي قابل بررسي دقيق و اصولي نباشدجاي پيشرفت چشمگيري براي آنها نمي توان درنظر گرفت. با اين اوصاف، شايستهاست به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهيم.شايد اگر زماني كه حوزهاطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبيعي منتهي مي شدو معلم درسرياضيات از ما مي خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاويه اي را كه طول هرضلعش يك سانتي متر است اندازه بگيريم نمي توانستيم عددي را با چنين ويژگيبيابيم .سال ها پيش اقليدس با حل مسئله اي نظير اين (محاسبه قطر مربعي كههر ضلعش 1 واحد بود)، سلسله اعداد جديدي را به مجموعه هاي شناخته شدهاضافه كرد كه يكي از شاهكارهاي بي نظير در پيشرفت رياضيات و البته علومبود. بله اين عدد عجيب و غريب «راديكال 2» بود.

عموم تحصيلكردگان با هندسه اقليدسيآشنا هستند. زيرا دست كم در طول دوران تحصيل خود به اجبار هم كه بوده دركتاب هاي درسي با اين هندسه كه اصول آن بر مبناي اندازه گيري است آشنا شدهاند. اما هندسه اقليدسي تنها به بررسي اشكال كلاسيك موجود در طبيعت ميپردازد. در اين هندسه اشكال و توابع ناهموار، آشفته و غير كلاسيك به بهانهاينكه مهار ناپذيرند، جايي نداشتند.

بالاخره در سال 1994، طلسم يكي ازتئوري هاي رياضي كه از سال1897، عنوان شده بود، شكست و «مندلبرات(1)»رياضيدان لهستاني، پايه گذار هندسه جديدي شد كه به آن هندسه بدون اندازهيا هندسه فركتالي گويند. هندسه بدون اندازه يكي از شاخه هاي جديد رياضياتاست كه در برابر تفسير و شبيه سازي اشكال مختلف طبيعت از خود انعطاف وقابليت بي نظير نشان داده است. با به كارگيري هندسه فركتالي، افق روشنيپيش روي رياضيدانان و محققان در زمينه بازگو كردن رفتار توابع و مجموعههاي به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.

واژه فركتال به معناي سنگي است كه بهشكل نامنظم شكسته شده باشد. در اين هندسه اشكالي مورد بررسي قرار مي گيرندكه بسيار نامنظم به نظر مي رسند. اما اگر با دقت به شكل نگاه كنيم متوجهمي شويم كه تكه هاي كوچك آن كم و بيش شبيه به كل شكل هستند به عبارتي جزءدر اين اشكال، نماينده اي از كل است. به چنين اشكالي نام «خود متشابه» نيزمي دهند.

اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمرهما گره خورده كه تعجب آور است. با كمي دقت به اطراف خودتان، مي توانيدبسياري از اين اشكال را بيابيد. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درونمغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكلريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و شش و...
همه اينها نمونه هايي از اشكال فركتالي اند.

اين موجودات به عنوان اصلي ترين بازيگران هندسه منتج از نظريه آشوب شناخته مي شوند.
اين هندسه ويژگي هاي منحصر به فرديدارد، که مي تواند توجيه گر بسياري از رويدادهاي جهان اطراف ما باشد، اماويژگي اصلي که در تعريف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث مي شود مااستفاده ويژه اي از اين سيستم ببريم.
اين روزها از فراکتالها به عنوان يکياز ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نام مي برند، اما هنگام پيدايش اينمفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي کردند.
براي آن که درک بهتري نسبت بهفراکتالها داشته باشيم ، بد نيست نگاه مختصري به آشوبي بيندازيم ، کهفراکتال ها فضاي هندسي آنها را تعريف مي کند.


تعريف آشوب

فصل مشترک تعاريفي که براي مفهوم آشوبارائه شده است ، تاکيد بر اين نکته است که آشوب دانش بررسي رفتار سيستمهايي است که اگرچه ورودي آنها قابل تعيين واندازه گيري است ، اما خروجياين سيستم ها ظاهري کتره اي و تصادفي دارد.
شايد به همين دليل بود که استوارترياضيدان برجسته اين موضوع را مفهومي احتمالاتي مي دانست ، اما چيزي نگذشتکه وي تعريف خود را اصلاح کرد و به تعريفي رسيد که تقريبا مورد تاييدعمومي قرار دارد.
بر اساس اين تعريف ، آشوب به توانايييک الگو و مدل ساده گفته مي شود که اگرچه خود اين الگو هيچ نشاني از پديدههاي تصادفي در خود ندارد، اما مي تواند منجر به ظهور رفتارهاي بسيار بيقاعده در محيط شود.
براي مثال ، يک دنباله رياضي از اعداد را در نظر بگيريد که براي توضيح يک پديده مشخص وضع شده است.

اگرچه آشوب نظريه اي است که برموضوعات گوناگون اجتماعي و سياسي و اقتصادي نظر دارد، اما نيازمند زبانيبراي تصوير سازي مفاهيم خود بود و اين عرصه اي بود که هندسه آشوب يافراکتالها خلق کردند.
ما در هندسه آشوب با تصاوير متفاوتيسرو کار داريم ، تصاويري که بزرگترين خصوصيات آنها اين است که وقتي رسم آنرا آغاز مي کنيم ، نمي دانيم در نهايت با چه پديده اي روبه رو خواهيم شد واز سوي ديگر بازخورد در آن نقش اساسي دارد. بياييد يک فرمول کلي را اجراکنيم. يک مثلث متساوي الاضلاع رسم کنيد.
حال ميانه 3ضلع را مشخص کرده و از رسمآنها به هم مثلث متساوي الساقين جديدي به دست آوريد. همين بلا را بر سر3مثلث تشکيل شده بيروني بکنيد و اين روند را تا آنجا که مي توانيد ادامهدهيد. شما با استفاده از يک رابطه ساده - که تقسيم اضلاع مثلث به نصف واتصال آنها به هم بود - و با تکرار آن موفق به رسم نقشه يک ساختارفراکتالي شده ايد.
چنان اشکالي اجزاي سازنده هندسه جديفراکتالي هستند؛ هندسه اي که به قول يکي از خالقان آن ، يعني مندلبراتابزاري را براي ديدن بي نهايت در اختيار ما قرار مي دهد.اين اشکال يکمشخصه بسيار عمده دارند. کل شکل از اجزايي مشابه شکل اول تشکيل شده است.
در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعهاي مثلثهاي همسان به وجود آمده است. اين يکي از خصوصيات زيباي فراکتالهاستکه همزمان از سوي طبيعت و فناوري به کار گرفته شده است.
اگر تا به حال به يک برگ سرخس نگاهکرده باشيد، مي توانيد متوجه تشابه اجزاي مختلف آن شويد. ساختار کل ساقههمانند يک برگ و ساختار يک برگ همانند يک جزو کوچک آن است.
اگر فرصت کرديد نگاهي هم به سواحلدرياها يا تصاوير هوايي کوهستان ها و گياهان اطرافتان بيندازيد، بسرعتدرخواهيد يافت که در جهاني آشوب زده احاطه شده ايد.


با استفاده از فركتال ها به راحتي ميتوان نوار قلب بيماران را تفسير كرد و حتي احتمال بروز حمله قلبي در آنهارا حدس زد و از آن جلوگيري كرد.ممكن است روزي فركتال ها در فهميدن چگونگيكار مغز يا ارگانيسم بدن بسيار كارآ و مؤثر واقع شوند. پيدا كردن پيوندهايبين علم و زندگي، آن رويي از سكه است كه متاسفانه در كشور ما اصلاً به آنتوجهي نمي شود. در صورتي كه پيدا كردن و بيان اين پيوندها مي تواندتاثيرات بسياري بر پيشرفت علوم و عمومي كردن آن داشته باشد.


اگر هنوز از اين موجودات ساده و درعين حال پيچيده هيجان زده نشده ايد، اين نکته را هم بشنويد.اين اجسام نهيک بعدي اند، نه دو بعدي و نه سه بعدي.
اين ها ابعادي کسري دارند؟ فراکتالهادقيقا به دليل همين خاصيت ويژه اي که دارند، زماني توانستند روشي برايذخيره سازي تصاوير ارائه دهند. معمولا زماني که يک تصوير گرافيکي قرار استبه شکل يک فايل تصويري ذخيره شود، بايد مشخصات هرنقطه از آن (شامل محلقرار گيري پيکسل و رنگ آن به صورت داده هايي عدي ذخيره شود و زماني که يکمرور گر بخواهد اين فايل را براي شما به تصوير بکشد و نمايش دهد، بايدبتواند اين کدهاي عدي را به ويژگيهاي گرافيکي تبديل کند و آن را به نمايشبگذارد. مشکلي که در اين کار وجود دارد، حجم بالايي از داده ها ست که بايداز سوي نرم افزار ضبط کننده و توليد کننده بررسي شود.
اگر بخواهيم تصوير نهايي ما کيفيتيعالي داشته باشد،نيازمند آنيم که اطلاعات هريک از نقاط تشکيل دهنده تصاويررا با دقت بالايي مشخص و ثبت کنيم و اين حجم بسيار بالايي از حافظه را بهخود اختصاص مي دهد، به همين دليل ، روشهايي براي فشرده سازي تصوير ارائهمي شود.
اگر نگاهي به فايلهايي که با پسوندهايمختلف ضبط شده اند، بيندازيد متوجه تفاوت فاحش حجم آنها مي شويد. برخي ازاين فرمتها با پذيرفتن افت کيفيت بين تصوير توليدي و آنچه آنها ذخيره ميکنند، عملا اين امکان را در اختيار مردم قرار مي دهند، که بتوانند فايلهاو تصاوير خود را روي فلاپي ها و با حجم کمتر ذخيره کنند يا روي اينترنتقرار دهند.
براي اين فشرده سازي از روشهاي مختفياستفاده مي شود. درواقع در اين فشرده سازي ها بر اساس برخي الگوريتم هايکار آمد سعي مي شود به جاي ضبط تمام داده هاي يک پيکسل مشخصات اساسي از يکناحيه ذخيره شود، که هنگام باز سازي تصوير نقشي اساسي تر را ايفا مي کنند.
در اينجاست که روش فراکتالي اهميت خودرا نشان مي داد. در يکي از روشهايي که در اين باره مطرح شد و با استقبالبسيار خوبي از سوي طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصيت الگوهايفراکتالي بود. در اين روش از اين ويژگي اصلي فراکتالها استفاده مي شد کهجزيي از يک تصوير در کل آن تکرار مي شود.براي درک بهتر به يک مثال نگاهيبيندازيم. فرض کنيد تصويري از يک برگ سرخس تهيه کرده ايد و قصد ذخيره کردنآن را داريد.
همان طور که قبلا هم اشاره شد، اين برگ ساختاري کاملا فراکتالي دارد؛ يعني اجزاي کوچک تشکيل دهنده در ساختار بزرگ تکرار مي شود.
بخشي از يک برگ کوچک ،برگ را مي سازدو کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلي را تشکيل مي دهد. اگر بخواهيم تصويراين برگ را به روش عادي ذخيره کنيم ، بايد مشخصات ميليون ها نقطه اين برگرا دانه به دانه ثبت کنيم ، اما راه ديگري هم وجود دارد. بياييد و مشخصاتتنها يکي از دانه هاي اصلي را ضبط کنيد. در اين هنگام با اضافه کردن چندعملگر رياضي ساده بقيه برگ را مي توانيد توليد کنيد.
در واقع ، با در اختيار داشتن اينبلوک ساختماني و اعمال عملگرهايي چون دوران حول محورهاي مختلف ، بزرگ کردنيا کوچک کردن و انتقال مي توان حجم تصوير ذخيره شده را به طور قابل توجهيکاهش داد.
در اين روش نرم افزار نمايشگر شماهنگامي که مي خواهد تصوير را بازسازي کند، بايد ابتدا بلوک کوچک را شبيهسازي کرده ، سپس عملگرهاي رياضي را روي آن اعمال کند، تا نتيجه نهايي حاصلشود.
به نظر مي رسد اين روش مي تواند حجمنهايي را به شکل قابل ملاحظه اي کاهش دهد، اما تنها يک مشکل کوچک وجوددارد و آن هم اين نکته است که همه اشياي اطراف ما برگ سرخس نيستند وبنابراين الگوهاي تکرار در آنها هميشه اينقدر آشکار نيست.
بنابراين بايد روشي بتواند الگوهاي فراکتالي حاضر در يک تصوير را شناسايي کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.
به همين دليل ، معمولا روش فراکتاليبا روشهاي فشرده سازي ديگر همزمان به کار برده مي شود؛ يعني اگر الگوهايتکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازي امکانپذير باشدالبته زيادنگران ناکارامدي اين روش نباشيد. يادتان نرود، شما در جهاني زندگي مي کنيدکه براساس يافته جديد ساختاري آشوبناک دارد.
مطمئن باشيد هندسه فراکتال بر بسياري از اشکال عالم حاکم است ؛ حتي اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.
شما نيز با دقت بيشتر به اطرافتان و يافتن ارتباط هاي ملموس بين رياضي و زندگي مي توانيد از سختي و به اصطلاح خشك بودن رياضي بكاهيد.
***************************
(1):تئوريسين فرکتالها

مندلبورت در کالج نيوتن کمبريج بنوتمندلبورت در سال 1924 در لهستان بدنيا آمد. پدر او دستفروش لباس هاي دستدوم بود و مادرش پزشکي مي کرد. او مباني رياضيات را از دو عموي خود فراگرفت و به همراه خانواده خود در سال 1936 به فرانسه مهاجرت کرد. در آنجابا کمک يکي ديگر از عموهايش که پروفسور رياضيات بود اقامت فرانسه راگرفتند.


اين مهاجرت باعث شد تا وي بيشتر بهرياضيات علاقمند شود اما جنگ جهاني دوم شروع شده بود و مندلبورت هراس اينرا داشت که نتواند به رياضايات بپردازد. در باره او مي گويند :

"جنگ، تنگدستي و نياز به زندگي او رااز مدرسه و تحصيل دور کرد و به همين دليل بود که او را حد اکثر يک معلمدبيرستاني خودآموز خوب مي دانستند."

عدم تحصيل دانشگاهي براي او يک مزيتبود چرا که او ديگر به پديده هاي هستي به چشم يک رياضيدان يا دانشمندآکادميک نمي نگريست، اين طرز آموزش همچنين به وي فرصت داد تا روشهاي بسيارجالبي براي استفاده از هندسه در رياضيات ابداع کند. نبوغ ذاتي او در هندسهباعث شد تا بتواند بسياري از مسائل رياضي را با روشهاي هندسي حل کند.


او در سال 1944 فرصت آنرا يافت تا درامتحانات پلي تکنيک شرکت کند و توانست بسهولت قبول شود و اين سرآغازتحصيلات جدي وي بود. پس از پايان تحصيلات به آمريکا رفت و در انستيتويمطالعات پيشرفته پرينستون مشغول به فعاليت شد.


پس از ده سال دوباره به پاريس بازگشتو شروع به کار براي مرکز ملي تحقيقات علمي فرانسه نمود. طولي نکشيد کهازدواج کرد و دوباره به آمريکا برگشت. و در آنجا با يك شرکت آغاز بههمکاري نمود. وي همواره از اين موضوع صحبت مي کند که دراين شركت چقدر آزاداست و مي تواند روي هر پروژه اي کار کند و فرصتي که اين شركت در اختيار اوقرار داده است هيچ دانشگاهي نمي تواند به او بدهد.


تئوري فرکتالها علاوه بر زيبايي خاصيکه از ديد رياضي دارد يکي از روشهاي بسيار کاربردي در تفسير و مدلسازيطبيعت مي باشد. آشنايي با فرکتالها به هنرمندان اجازه مي دهد تا آثار هنريبسيار زيبايي را خلق کنند.

……………………………………………………… ………………………………………
تحقيق در رابطه با درس اجتماعي
دبير :سركار خانم بفايي
اعضاي گروه :فاطمه بهارِِي .نيلوفرهورشاد.ويدا مرادي.سمن حريري.يگانه خشخاشي مقدم.زهرا دروديان و بيتا روستايي.
................................................................ ............................
منابع:سايتهاي ملاصدرا.خانه رياضيات و رياضيكده