نمایش نتایج: از شماره 1 تا 8 , از مجموع 8

موضوع: مسائل حل نشده ریاضیات

  1. #1
    کاربرسایت hrg1356 آواتار ها
    تاریخ عضویت
    ۸۶-۰۴-۲۰
    نوشته ها
    5,534
    سپاس ها
    0
    سپاس شده 6 در 3 پست

    مسائل حل نشده ریاضیات

    اعداد دوست :


    عدد دوست در نظریه اعداد یک عدد طبیعی مثبت استکه نسبت بین مقسوم علیههای آن عدد و خود عدد با یک یا چند عدد دیگرهمانند است. دو عدد که در این خاصیت سهیم باشند یک زوج دوست نامیدهمیشوند. دستههای بزرگتر اعداد دوست نیز وجود دارد. عددی که چنیندوستانی نداشته باشد عدد تنها نامیده میشود.

    خاصیت مورد نظر عبارتاست از عدد غیر موهومی σ(n) / n است که در آن σ نشان دهنده تابع تقسیمکننده (مجموع تمام مقسوم علیهها) است. n یک عدد دوست است اگر n ≠ m باشدبه طوری کهσ(m) / m = σ(n) / n .

    اعداد ۱ تا ۵ همگی تنها هستند.کوچکترین عدد دوست ۶ است که زوج دوست (۲۸٬۶) که در ان ۶/(۶)σ مساویست با ۶/ (۶ + ۳ + ۲ + ۱) مساویست با ۲ همانطور که۲۸ / (۲۸)σ مساویست با ۲۸ / (۲۸+ ۱۴ + ۷ + ۴ + ۲ + ۱) مساویست با ۲. مقدار مشترک ۲ در این مورد یک عددصحیح است اما در بسیاری از موارد چنین نیست.

    مسائل حل نشده بسیاریدر رابطه با اعداد دوست وجود دارد. بهرغم مشابهت نام، هیچ رابطه خاصی بیناعداد دوستانه یا اعداد اجتماعی وجود ندارد. هر چند تعریف این دو نیز شاملتابع تقسیم است.


    تابع تقسیم

    اگر n یک عدد مثبت طبیعیباشد (σ(n جمع مقسوم علیههای ان است . مثلا ۱۰ به ۵، ۲ ،۱ و ۱۰ بخش پذیراست و لذا σ(۱۰) = ۱ + ۲ + ۵ + ۱۰ = ۱۸



    قرابت و دوستی

    قرابتیا (K(n برای یک عدد مثبت طبیعی n به صورت عدد غیر موهومی σ(n)/n تعریفمیشود مثلا κ(۱۰) = ۱۸/۱۰ = ۹/۵. کلمه قرابت و نشانه (K(n کاربردهایاستاندارد نیستند و در اینجا فقط برای تسهیل بیان به کار رفتهاست. اعدادیکه قرابت آنها مثل هم باشد دوست هستند مثلا K(۴۹۶) = K(۲۸) = K(۶)=۲اعداد ۶، ۲۸ و ۴۹۶ همه کامل هستند و بنابراین دوست هستند به عنوان مثالیدیگر : (۳۰ و ۱۴۰) یک زوج دوستی هستند از آنجا که(K(۳۰) =K(۱۴۰ :



    دوست بودن یک رابطه هم ارزی است و لذا شامل تقسیم اعداد صحیح به دستههایی از اعداد دوست هست .


    اعداد تنها:

    اعدادی که به یک دسته واحد تعلق دارند چون عدد دوست دیگری نیستند اعداد تنها هستند.

    همهاعداد اول و توانهایشان کامل هستند، به طور عام تر هر جا اعداد n و(σ(nاول هستند به این معنا که بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها ۱ است به طوریکه σ(n)/n یک تابع کاهش نا پذیر است عدد n تنهاست . برای یک عدد اول pداریم σ(p) = p + ۱ که مانند p عدد اول است .روشی عمومی برای این کهبفهمیم یک عدد کامل است یا تنها وجود ندارد.

    کوچکترین عددی که طبقهبندی آن معلوم نیست (تا سال ۲۰۰۷) ۱۰ است و حدس زده میشود که تنها باشداگر نباشد کوچکترین دوست آن یک عدد نسبتا بزرگ خواهد بود.

    دستههای بزرگ:

    اینمسئله باقی است که ایا دستههای بی نهایت بزرگ اعداد دوست وجود دارد؟اعداد کامل یک دسته را تشکیل میدهند و حدس زده میشود که بی نهایت عددکامل وجود دارد .(دست کم به اندازه تعداد اعداد اول مرسن) اما دلیلی برایان نداریم . تا سال ۲۰۰۸ ،۴۴ عدد کامل شناخته شدهاست که بزرگترین انها ۱۹میلیون رقم در سیستم ده دهی دارد . دستههای دیگری با اعداد شناخته شدهبیشتر به خصوص آنهایی که از اعداد کامل چند گانه تشکیل میشوند که اعدادیهستند که قرابت آنها عدد صحیح است. تا اوایل سال ۲۰۰۸ دستهٔ اعداد دوستبا قرابت مساوی ۹ ، ۲۰۷۹ عدد شناخته شده بودهاست گرچه میدانیم برخی ازانها بسیار بزرگ هستند دستههای اعداد کامل چند جانبه (به استثنای خوداعداد کامل) حدس زده میشود که متناهی باشد.
    *هرکس به اندازه همتش رشد می کند*

  2. #2
    کاربرسایت hrg1356 آواتار ها
    تاریخ عضویت
    ۸۶-۰۴-۲۰
    نوشته ها
    5,534
    سپاس ها
    0
    سپاس شده 6 در 3 پست

    Re: مسائل حل نشده ریاضیات

    اعداد فرما :

    عدد فرما عدد صحیح و مثبتی است بصورت


    که در آن n عددی صحیح و غیر منفی است.

    اگر چنین عددی اول هم باشد آنرا «عدد اول فرما» می نامند.

    این اعداد را بنام پییر دو فرما نامگذاری کردهاند.


    اگر 2m + 1 اول باشد، میتوان نشان داد m = 2n.

    اثبات (با عکس نقیض): فرض کنید m توانی از 2 نباشد، بنابراين m دارای یک شمارنده فرد مانند 2k + 1 (بزرگتر از یک) است. بنابراین
    m = (2k + 1)r

    حالخواهیم داشت که 2m + 1 با استفاده از اتحاد دارای تجزیهٔ غیر بدیهیمیشود. که این خلاف اول بودن این عدد است، پس این عدد به صورت است. بنابراین هر عدد اولی که بصورت 2m + 1 باشد، عدد فرما است.

    فرماکه اغلب حدسهایش برای ریاضیدانان در خور توجه و قابل اعتماد بود مشاهدهکرد که با گذاشتن چند عدد ۰ و ۱ و ۲ و ۳ و ۴ به جای n در فرمول بالا F اولاست.

    در سال ۱۷۳۲ اویلر نشان داد که (5)F مرکب است. تاکنون فقط به ازای n =0,...,۴ عدد اول فرما یافت شده است.
    *هرکس به اندازه همتش رشد می کند*

  3. #3
    کاربرسایت hrg1356 آواتار ها
    تاریخ عضویت
    ۸۶-۰۴-۲۰
    نوشته ها
    5,534
    سپاس ها
    0
    سپاس شده 6 در 3 پست

    Re: مسائل حل نشده ریاضیات

    اعداد فوق کامل :


    در ریاضیات یک عدد فوق کامل عددی صحیح مانند n است که در رابطهٔ زیر صدق کند


    که در آن σ تابع تقسیم کننده میباشد.

    اولین اعداد فوق کامل عبارتند از :2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144

    اگر n یک عدد فوق کامل زوج باشد باید به شکل توانی از 2 مانند 2k باشد به طوری که2k+1-1 یک عدد اول مرسن باشد.

    مشخصنیست که عدد فوق کامل فردی وجود دارد یا نه. یک عدد فوق کامل فرد مانند nباید مربع کامل باشد به طوری هم n و هم (σ(n حداقل بر 3 عدد اول متمایزبخشپذیر باشند. هیچ عدد فوق کامل فردی کوچکتر از 7x1024 وجود ندارد.

    اعداد کامل و فوق کامل زیر مجموعهای از دستهای بزرگتر از اعداد به نام (m,k)-کامل هستند که در رابطهٔ زیر صدق میکنند
    *هرکس به اندازه همتش رشد می کند*

  4. #4
    کاربرسایت hrg1356 آواتار ها
    تاریخ عضویت
    ۸۶-۰۴-۲۰
    نوشته ها
    5,534
    سپاس ها
    0
    سپاس شده 6 در 3 پست

    Re: مسائل حل نشده ریاضیات

    تثلیث زاویه :


    تثلیث زاویه از مسائل قدیمی و حل ناشده ریاضی است.

    بزرگان ریاضی در طی دوران براحتی میتوانستند با کشیدن نیمساز، هر زاویه دلخواه را به دو بخش برابر قسمت کنند، ولی در سه قسمت کردن کمان عاجز بودند. بنابراین تثلیث یا سه بخش کردن زاویه یکی از مسائل عهد باستان گردید.

    با آشنایی در حد مثلثات دبیرستانی میشود ثابت کرد این مسئله که جزء مسئلههای طرح شده در شاخه ساختمانهای هندسی است با کمک پرگار و ستاره (خطکش غیر مدرج) قابل حل نیست. ولی با حل یک معادله درجه ۳ ساده میتوانیم دریابیم که بینهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث است، از جمله زاویههای ۹۰ درجه یا ۴۵ درجه؛ و بینهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث نیست، از جمله زاویهٔ ۶۰ درجه. بنابراین، زاویهٔ ۶۰ درجه را نمیتوان، به کمک پرگار و خطکش، به سه بخش برابر تقسیم کرد.

    تثلیث زاویه، به همراه تربیع دایره، تضعیف مکعب و چندضلعیهای منتظم محاط در دایره از مسائل سهگانه عهد باستان است طی قرنها حل نشده باقیمانده بود.

    با وجود اثبات امکان ناپذیری حل این مسئله و مسئلههای مشابه با استفاده از ستاره و پرگار، عدهای تلاش میکنند این مسائل را حل کنند. در اصطلاح ریاضیکاران ایرانی، این عده نوابیغ نامیده میشوند. اگر چه زاویه دلخواه را نمیتوان با ابزارهای اقلیدسی دقیقا تثلیث نمود ولی ترسیمهایی با این ابزار وجود دارند که تثلیثهای بسیار خوبی را بدست میدهند مانند ترسیم حکّاک و نقّاش معروف آلبرشت دورر (Albercht Durer ) زاویه مفروض AOB را به عنوان یک زاویه مرکزی یک دایره در نظر بگیرید فرض کنید C آن نقطه تثلیث وتر AB باشد که به B نزدیکتر است در c عمود برAB را خارج می کنیم تا دایره را در D قطع کند به مرکز B و به شعاع BD قوسی رسم می کنیم را AB را در E قطع کند فرض کنید که F آن نقطه تثلیث EC باشد که به E نزدیک تر است دو باره به مرکز B به شعاع BF قوسی رسم می کنیم که دایره را در G قطع کند آنگاه OG یک خط تثلیث کننده تقریبی AOB است خطا در این روش با افزایش زاویه افزایش مییابد ولی برای زاویه 60 درجه حدود یک شستم زاویه (ثانیه ) است
    *هرکس به اندازه همتش رشد می کند*

  5. #5
    کاربرسایت hrg1356 آواتار ها
    تاریخ عضویت
    ۸۶-۰۴-۲۰
    نوشته ها
    5,534
    سپاس ها
    0
    سپاس شده 6 در 3 پست

    Re: مسائل حل نشده ریاضیات

    تثلیث زاویه :


    تثلیث زاویه از مسائل قدیمی و حل ناشده ریاضی است.

    بزرگان ریاضی در طی دوران براحتی میتوانستند با کشیدن نیمساز، هر زاویه دلخواه را به دو بخش برابر قسمت کنند، ولی در سه قسمت کردن کمان عاجز بودند. بنابراین تثلیث یا سه بخش کردن زاویه یکی از مسائل عهد باستان گردید.

    با آشنایی در حد مثلثات دبیرستانی میشود ثابت کرد این مسئله که جزء مسئلههای طرح شده در شاخه ساختمانهای هندسی است با کمک پرگار و ستاره (خطکش غیر مدرج) قابل حل نیست. ولی با حل یک معادله درجه ۳ ساده میتوانیم دریابیم که بینهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث است، از جمله زاویههای ۹۰ درجه یا ۴۵ درجه؛ و بینهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث نیست، از جمله زاویهٔ ۶۰ درجه. بنابراین، زاویهٔ ۶۰ درجه را نمیتوان، به کمک پرگار و خطکش، به سه بخش برابر تقسیم کرد.

    تثلیث زاویه، به همراه تربیع دایره، تضعیف مکعب و چندضلعیهای منتظم محاط در دایره از مسائل سهگانه عهد باستان است طی قرنها حل نشده باقیمانده بود.

    با وجود اثبات امکان ناپذیری حل این مسئله و مسئلههای مشابه با استفاده از ستاره و پرگار، عدهای تلاش میکنند این مسائل را حل کنند. در اصطلاح ریاضیکاران ایرانی، این عده نوابیغ نامیده میشوند. اگر چه زاویه دلخواه را نمیتوان با ابزارهای اقلیدسی دقیقا تثلیث نمود ولی ترسیمهایی با این ابزار وجود دارند که تثلیثهای بسیار خوبی را بدست میدهند مانند ترسیم حکّاک و نقّاش معروف آلبرشت دورر (Albercht Durer ) زاویه مفروض AOB را به عنوان یک زاویه مرکزی یک دایره در نظر بگیرید فرض کنید C آن نقطه تثلیث وتر AB باشد که به B نزدیکتر است در c عمود برAB را خارج می کنیم تا دایره را در D قطع کند به مرکز B و به شعاع BD قوسی رسم می کنیم را AB را در E قطع کند فرض کنید که F آن نقطه تثلیث EC باشد که به E نزدیک تر است دو باره به مرکز B به شعاع BF قوسی رسم می کنیم که دایره را در G قطع کند آنگاه OG یک خط تثلیث کننده تقریبی AOB است خطا در این روش با افزایش زاویه افزایش مییابد ولی برای زاویه 60 درجه حدود یک شستم زاویه (ثانیه ) است
    *هرکس به اندازه همتش رشد می کند*

  6. #6
    کاربرسایت hrg1356 آواتار ها
    تاریخ عضویت
    ۸۶-۰۴-۲۰
    نوشته ها
    5,534
    سپاس ها
    0
    سپاس شده 6 در 3 پست

    Re: مسائل حل نشده ریاضیات

    تربیع دایره :


    تربیع دایره یکی از مسائل قدیمی ریاضیات است. هدف آن رسم کردن مربعی است که مساحت آن برابر با مساحت دایرهای داده شده، فقط با استفاده از ستاره و پرگار، باشد.تلاش در حل این مساله که ناممکن بودن آن اثبات شده، یکی از عرصههای اصلی فعالیت نوابیغ است.
    *هرکس به اندازه همتش رشد می کند*

  7. #7
    کاربرسایت hrg1356 آواتار ها
    تاریخ عضویت
    ۸۶-۰۴-۲۰
    نوشته ها
    5,534
    سپاس ها
    0
    سپاس شده 6 در 3 پست

    Re: مسائل حل نشده ریاضیات

    تضعیف مکعب :
    تضعیف مکعب از مسائل باستانی ریاضیات است. یونانیان و قبل از آنها هندیان این مسئله را میشناختند. صورت مسئله این است:

    «فقط با بهکار بردن ستاره و پرگار، مکعبی بسازید که حجم آن دوبرابر حجم مکعبی داده شده باشد.»

    ثابت شده است که این مسئله جوابی ندارد[نیازمند منبع].

    این مسئله به همراه تثلیث زاویه و تربیع دایره از مسائل مورد توجه نوابیغ بوده است.
    *هرکس به اندازه همتش رشد می کند*

  8. #8
    کاربرسایت hrg1356 آواتار ها
    تاریخ عضویت
    ۸۶-۰۴-۲۰
    نوشته ها
    5,534
    سپاس ها
    0
    سپاس شده 6 در 3 پست

    Re: مسائل حل نشده ریاضیات

    حدس گلدباخ :

    حدس گلدباخ در ریاضیات یکی از قدیمیترین مسائل حل نشده نظریه اعداد است. این حدس میگوید:
    هر عدد زوج بزرگتر از ۲ را میتوان به صورت حاصلجمع دو عدد اول نوشت.

    مثال: ۲۰=۱۷+۳ یا ۱۰=۷+۳ و ۴=۲+۲ و ۱۲=۷+۵.

    اینمسئله در حدود ۲۶۰ سال پیش توسط یک پزشک آلمانی علاقه مند به اثباتقضیههای ریاضی مطرح شد. شهود این پزشک متوجه حقیقت جالبی شده بود و آن هماین بود که هر عدد زوج را میتوان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. (البتهعدد یک را به این خاطر از مجموعه اعداد اول کنار گذاشتند که صورتمسئلههای نظریه اعداد کوتاه تر شود. زیرا اگر این کار را نمیکردندبایستی در اکثر صورت مسئلههای مربوط به اعداد اول مینوشتند: «به غیر ازیک») اکنون به دلیل همین موضوع عدد ۲ از حدس گلدباخ خارج شدهاست. گلدباخهم عصر با اویلر بود. پس از تلاش فراوان و نا امید شدن از اثبات این حدس،گلدباخ از اویلر خواست تا مسئله را برایش حل کند. اویلر یکی از برجستهترین شخصیتهای ریاضی آن زمان بود. نه اویلر و نه هیچیک از شاگردانشنتوانستند این مسئله را حل کنند. تا اینکه حدود ۶ سال پیش یک موسسهانتشاراتی در انگلستان به نام «تونی سیبر» برای کسی که بتواند این مسئلهرا حل کند مبلغ یک میلیون دلار جایزه تعیین کرد. این مسئله در عین سادگیصورت آن، هنوز حل نشده تا بتواند به عنوان قضیه مطرح شود.

    این حدستوسط کامپیوترهای پیشرفته برای اعداد زوج بسیار بسیار بزرگی تست شده وجالب اینست که تا کنون هیچ مثال نقضی برای آن یافت نشدهاست.

    گاهیاوقات فاصله شهود انسان تا لحظه اثبات یک مسئله آنقدر زیاد میشود کهنسلها میآیند و میروند ولی همچنان حقیقت درباره مسئلهای مانند حدس گلدباخ نامشخص میماند.

    شاید حل نشدن این مسئله به این خاطر باشد که با اعداد اول سر و کار دارد. زیرا خود مجموعه اعداد اول نیز ساختار جبری معینی ندارد.

    درسال ۱۷۴۲ گلدباخ طی نامهای به اویلر مینویسد: ” به نظر میرسد که هر دوعدد زوج بزرگتر از ۲ را بتوان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.” این ادعایگلدباخ به حدس گلدباخ شهرت یافت و در این دو نیم قرن اخیر پایه و موضوعتحقیقات گستردهای شدهاست.هاردی ریاضیدان برجسته انگلیسی تصریح میکند کهحدس گلدباخ یکی از دشوارترین مسائل حل نشده ریاضیات است.

    حدس گلدباخ: هر عدد صحیح زوج بزرگتر از ۲ را میتوان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.

    محاسباتعددی درستی این حدس را نشان میدهند که به طرق متعددی میتوان اعداد زوجرا به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. در سال ۱۹۷۳ چن نشان داد که اعداد زوجبه اندازه کافی بزرگ را میتوان به صورت p+m نوشت که در آن p عددی اول و mعددی اول یا حاصل ضرب دو عدد اول است. گلدباخ حدس ضعیفتری زد که هر عددفرد بزرگتر از ۷ را میتوان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.هر چند که اینمساله هنوز باز است اما وینوگراف در سال ۱۹۳۷ نشان داد که برای همه اعدادفرد مثبت به اندازه کافی بزرگ این قضیه درست است ولی اندازه کافی را تعریفنکرد. شاگرد آن برودزین اثبات کرد که عدد ۳۱۴۳۴۸۹۰۷ به اندازه کافی بزرگاست (این عدد ۶۸۴۶۱۶۹ رقم دارد!). در سال ۲۰۰۲ دو ریاضی دان این عدد را بهحدود کاهشدادند. یعنی اگر برای اعداد کوچکتر از آن درستی قضیه چک شود، اثبات کاملمیشود ولی این کار از عهده کامپیوترهای فعلی برنمی آید.
    *هرکس به اندازه همتش رشد می کند*

اطلاعات موضوع

کاربرانی که در حال مشاهده این موضوع هستند

در حال حاضر 1 کاربر در حال مشاهده این موضوع است. (0 کاربران و 1 مهمان ها)

مجوز های ارسال و ویرایش

  • شما نمیتوانید موضوع جدیدی ارسال کنید
  • شما امکان ارسال پاسخ را ندارید
  • شما نمیتوانید فایل پیوست کنید.
  • شما نمیتوانید پست های خود را ویرایش کنید
  •