اصل پنجم اقلیدس، پنچمین اصل از اصول موضوع در هندسه اقلیدسی که اصل توازی اقلیدسی نیز نامیده میشود.

اقلیدسدر کتاب اصول اقلیدس هنگامی که بنیاد هندسهای را میگذاشت، که به مدت بیشاز دو هزار سال تنها هندسهٔ موجود بود، پنج اصل موضوع و پنج اصل متعارفیرا به عنوان اصول بدیهی و بدون نیاز به اثبات پذیرفت تا بتواند بقیهقضایای هندسی را اثبات کند. اصل پنجم آنگونه که اقلیدس بیان کرداینگونهاست: اگر دو خط راست بهوسیلهٔ یک خط سوم قطع شوند، در همان طرفیاز خط سوم که زوایای داخلی، مجموع کوچکتر از دوقائمه تشکیل میدهندیکدیگر را قطع میکنند. این اصل در شکل امروزی آن اینگونه بیان میشود:اگر دو خط به وسیلهٔ موربی چنان قطع شوند که مجموع اندازهٔ درجههای دوزاویهٔ درونی واقع در یک طرف مورب کمتر از ۱۸۰ درجه باشد، آنگاه این دو خطیکدیگر را در همان طرف مورب تلاقی میکنند. شکل مشهورتر این اصل کهامروزه در دبیرستان تدریس میشود و به اصل توازی اقلیدسی مشهور است عبارتاست از: به ازای هر خط l و نقطهٔ p غیر واقع بر آن تنها یک خط مانند mوجود دارد چنانچه از p میگذرد و با l موازی است.

این اصل را به این شکل نخستین بار جیرولامو ساکری طرح کرد.

صورتبندیجدیدی از اصل پنجم، اصل همارزی نامیده میشود. در این صورتبندی اصل پنجمبه این شکل بیان میشود که: از یک نقطه خارج یک خط فقط یک خط به موازات آنمیتوان کشید. از آنجا که نخستین بار جان پلیفیر این اصل پنجم را به اینشکل صورتبندی کرد به اصل پلیفیر هم مشهور است.




جانشینهای پیشنهادی

چند جانشین دیگر برای این اصل پیشنهاد شدهاست:
حداقل یک مثلث وجود دارد که مجموع سه زاویهٔ آن برابر با ۱۸۰ درجهاست.
دو مثلث متشابه غیر متساوی وجود دارند.
دو خط مستقیم وجود دارند که همه جا از هم به یک فاصلهاند.
بر هر سه نقطهٔ غیر واقع بر یک خط میتوان دایرهای گذراند.
بر هر نقطهٔ داخل زاویهای کمتر از ۶۰ درجه میتوان خط مستقیمی کشید که هر دو ضلع زاویه را قطع کند.




هندسههای دیگر

ایناصل مناقشه برانگیزترین اصل از اصول پنجگانهٔ هندسهٔ اقلیدسی است. کنکاشبرای طرح این اصل به عنوان قضیه و اثبات آن با توجه به چهار اصل ماقبلشمنجر به ابداع اصل توازی جدیدی شد.

اصل توازی هذلولوی و اصل توازیریمانی در سدههای اخیر هندسههای جدیدی را به وجود آوردند که به هندسهٔهذلولوی یا هندسهٔ لباچفسکئی و هندسهٔ ریمانی یا هندسهٔ بیضوی مشهورند.