علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، ازقرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفهطبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالشکشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافعفلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود،اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آنحساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتریبرخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسهاقلیدسی خلاصه می شد.
هندسه اقلیدسی شاخه ای از ریاضیات
در هندسهاقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را بهعنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصولاستنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصلپنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازیبا خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را میتوان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاشزیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصلتوازی" مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیامگزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعدتوسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسههای نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سالاصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدینترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و درمسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.

اصطلاحات بنیادی ریاضیات
طیقرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیلنقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجوددارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایستهی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته برریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی توانددر داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.
بنابراین،اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است ونه احتیاجی به این بحث هست. براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی استکه در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییمدرست است.
دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خطو صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بیآنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنکهبگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یکبتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثباتهمه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نموداربسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگیدارند.
بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخینتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنینباشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راستبودن آنها نیست. این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده کهن تری که ریاضیات راحقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت،جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.

اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی
هندسه اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت:

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.
اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.

اصلپنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود.در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل!
بنابراینطبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیراچنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایراصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرارداد.
در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی،جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و ... تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را بااستفاده از سایر اصول نتیجه بگیرند و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند.اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همیناصل را در اثبات خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسهنامید.
یانوش بویوئی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاشمی کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود.
و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راهتوازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. اینشب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است،التماس می کنم دانش موازی ها را رها کنی.
ولی یانوش جوان از اخطارپدیر نهرسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. اوفرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرشرا محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را بهصورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گاوسفرستاد. بعد معلوم شد که گاوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.
بعدهامشخص شد که لباچفسکی در سال 1829 کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسیدر بولتن کازان، دو سال قبل از بوئی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشفهندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسکی ثبت گردید.

هندسه های نا اقلیدسی
اساساًهندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی مینامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بینهندسه های نااقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسیبه ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسمکرد.
نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوطموازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. ویا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نااقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد:

یک - هندسه های هذلولوی
هندسه های هذلولوی توسط بویوئی و لباچفسکی بطور مستقل و همزمان کشف گردید.
اصل توازی هندسه هذلولوی - از یک خط و یک نقطه ی نا واقع بر آن بی شمار خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد.

دو - هندسه های بیضوی

درسال 1854 فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیمکنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چندجرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را میتوان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیرارائه گردید.
اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.
یعنیدر هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحیشبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر میگیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند.بنابراین خط ژئودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمهاست.
در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از 180 درجه است. درهندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، میتوان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبتمحیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.



مفهوم و درک شهودی انحنای فضا

سئوال اساسی این است که کدام یک از این هندسه های اقلیدسی یا نااقلیدسی درست است؟

پاسخصریح و روشن این است که باید انحنای یک سطح را تعیین کنیم تا مشخص شودکدام یک درست است. بهترین دانشی که می تواند در شناخت نوع هندسه یک سطحمورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیک است. یک صفحه ی کاغذ بردارید و درروی آن دو خط متقاطع رسم کنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیینکرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم. اگرمقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحههذلولوی است و در صورتی که مثبت شود، ادعا می کنیم که صفحه بیضوی است .
درکارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یک سد بر روی رودخانه،انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تاریخ مهندسینهمواره از هندسه اقلیدسی استفاده کرده اند و با هیچگونه مشکلی هم مواجهنشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یک کشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بکارمی برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می کنند. در این محاسبات مامی توانیم از خط کش هایی که در آزمایشگاه یا کارخانه ها ساخته می شود،استفاده کنیم. حال سئوال این است که اگر خط کش مورد استفاده ی ما تحتتاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید کرد؟ اما می دانیم از هر ماده ای کهبرای ساختن خط کش استفاده کنیم، شرایط فیزیکی محیط بر روی آن اثر میگذارد. البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خط کش ما تلاش می کنیم ازبهترین ماده ی ممکن استفاده کنیم. بهمین دلیل چوب از لاستیک بهتر است وآهن بهتر از چوب است.
اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چهخط کشی (متری) می توانیم استفاده کنیم؟ طبیعی است که در اینجا هیچ خط کشیوجود ندارد که بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یاستارگان را اندازه بگیریم. بنابراین باید به سایر امکاناتی توجه کنیم کهدر عمل قابل استفاده است. اما در اینجا چه امکاناتی داریم؟ بهترین ابزارشناخته شده امواج الکترومغناطیسی است. اگر مسیر نور در فضا خط مستقیمباشد، در اینصورت با جرت می توانیم ادعا کنیم که فضا اقلیدسی است. برای پیبردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم .
اماتجربه نشان می دهد که مسیر نور هنگام عبور از کنار ماده یعنی زمانی که ازیک میدان گرانشی عبور می کند، خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است. بنابراینفضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست. به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسیاست.