نمایش نتایج: از شماره 1 تا 2 , از مجموع 2

موضوع: منطق ریاضی

  1. #1
    کاربرسایت hrg1356 آواتار ها
    تاریخ عضویت
    ۸۶-۰۴-۲۰
    نوشته ها
    5,534
    سپاس ها
    0
    سپاس شده 6 در 3 پست

    منطق ریاضی

    منطق ریاضی ، شاخهای از ریاضیات است که به ارتباطریاضی و منطق می پردازد و گاه به آن منطق صوری (منطق نمادی) میگویند.این نام را جوزپه پئانو ریاضیدان ایتالیائی بر این رشته علمی گذاشت .پیشتر لایب نیتز و لامبرت کوشش هائی در این خصوص کرده بودند.

    دراواخر قرن نوزدهم میلادی ، با کارهای آگوستوس دی مورگان، جرج بول، گوتلوپفرگه، برتراند راسل، داوید هیلبرت و دیگران این علم به پیشرفت قابلملاحظهای دست یافت . منطق امروز در ریاضیات ، شکل کامل تری از منطق درفلسفه است که اساس خود را با نظریهٔ مجموعهها به اشتراک دارد.
    انگیزه و اهداف

    تحقیقاتعلمی درباره منطق ریاضی، در پی بروز پرسش های نوین در بنیانهای ریاضیاتپدید آمد. به عنوان نمونه، فرگه میکوشید تا ریاضیات را بر پایهٔ اصولبرآمده از منطق و نظریهٔ مجموعهها قرار دهد. راسل ، در حذف تناقضات ناشیاز دستگاه منطق فرگه تلاش کرد و هدف هیلبرت نشاندادن این امر بود که"روشهای مورد قبول عام در ریاضیات هرگاه که بهطور همهجانبه ، کلینگرانه و بهعنوان یک کل واحد ، در نظر گرفته شود ، به هیچ نوع تناقضیمنجر نخواهد شد ." (این موضوع به برنامه هیلبرت شهرت یافته است .)
    روشها و پایهها

    بهطور کلی منطقی که امروزه رواج دارد، منطقی بر پایههای منطق ارسطویی و دوارزشی است که به مرور تکامل یافته است. از پایههای این منطق قانون طرد شقوسط میباشد. این قانون از مشخصات منطق دو ارزشی است و بیان میکند کهگزارهٔ ما هر چه باشد یا درست است یا نادرست و به بیانی دیگر یا گزارهٔ مادرست است یا نقیض آن درست است. این اصل تا به امروز اساس حل بسیاری ازمسائل به ویژه حل به روش برهان خلف بوده است اما با این وجود، بحث ها وجنجال های بسیاری در رابطه با ناکافی بودن این منطق وجود دارد. به عقیدهٔبعضی از منطق شناسان و ریاضیدانان مکتب شهودی همچون براوئر،هیتینگ و بیشاپنتیجه گرفتن وجود یک چیز تنها به این دلیل که وجود نداشتن آن ممکن نیستکافی نیست.

    در سال های اخیر پژوهش هایی در زمینهٔ منطق چند ارزشیتوسط افرادی چون لوکاسیویچ، پست(شخص)وتارسکی انجام شده است اما هنوز بهعنوان یک منطق قابل قبول ویا جایگزین در نیامده است.

    تعریف در منطق

    باآن که با استفاده از منطق میتوان بسیاری از چیزها را تعریف کرد و بسیاریاز تعاریف را اثبات کرد اما تمامی اساس منطق بدون تعریف و زیر سئوال است،شاید دلیلش این باشد که منطق بر اساس فکر آدمی بناشده و ما انسان هادربارهٔ پدیدههای غیر از فکر خود میتوانیم تفکر کنیم زیرا که تکفر کردندرباره تفکر کردن بی معنا و مفهوم است و ما را وارد دور میکند که باطلاست. البته بررسی ذهن به عنوان یک دستگاه منطقی ما را قادر می سازد تابتوانیم منشا منطق که همانا ذهن آدمی است را بیشتر کشف کنیم.

    نقض گزارهها

    نمیتوان آن را تعریف کرد، زیر اگر بخواهیم آن را تعریف کنیم باز نیاز بهاستفاده از خودش برای تعریف خودش داریم. به چند تعریف زیر توجه کنید :


    1 - نقیض یک گزاره ، گزارهای است که دارای ویژگی های آن گزاره نباشد.

    2 - نقیض یک گزاره یعنی اگر گزارهای درست باشد آنگاه نقیض آن نادرست است.

    3 - نقیض یک گزاره یعنی مکمل حالت هایی که آن گزاره شامل نیست.

    و تعاریفی مانند این ها ...

    تعاریفبالا گرچه مفهوم را می رسانند و منظور از آوردن آن ها القاء مفهوم نقیضبوده است اما غلط هستند چون در آنها به نوعی از خود مفهوم نقیض استفادهشده است.

    برای مثال در جملهٔ اول، عبارت دارای ویژگی های آن گزارهنباشد. خود نقیض عبارت دارای ویژگی های آن گزاره باشد. است، همچنین درجملات بعدی عبارات نادرست و نیست خود به ترتیب نقیض عبارات درست و هستمیباشند

    گزارههای فصلی و عطفی

    در منطق دو ارزشی همه چیزبر پایهٔ دو حالت بنا شده است ، بنابر این ما در این منطق دو عملگر اصلیداریم. "یا" ، "و" عملگرهای اصلی این منطق هستند و عملگرهای دیگر به صورتشکل دیگری از ترکیب این دو عملگر و نقایض آن ها ایجاد میشوند.

    گزارههایفصلی : گزارههایی هستند که در آنها حرف ربط "یا" به کار رفته است.گزارههای چند جزئی که با حرف ربط "یا" به یکدیگر مربوط میشوند حتی اگریکی از گزارهها درست باشد شرط درست است و برای نادرستی شرط باید تمامیگزارهها نادرست باشند.

    گزارههای عطفی : گزارههایی هستند که درآنها حرف ربط "و" به کار رفته است. گزارههای چند جزئی که با حرف ربط "و"به یکدیگر مربوط میشوند حتی اگر یکی از گزارهها درست نباشد شرط نادرستاست و برای درستی شرط باید تمامی گزارهها درست باشند.

    همانطور کهدر بالا دید هر دو دارای تعریفی مشابه و نقیض یکدیگر هستند، پس میتوانگفت که نقیض گزارههای فصلی به شکل عطفی است و نقیض گزارههای عطفی به شکلفصلی است.

    متغیرهای عمومی و وجودی

    در منطق دو ارزشی دو قسممتغیر برای تعاریف خود داریم ، "به طور کلی(کلاً)" ، "وجود دارد(جزئاً)".تمامی تعاریف ما یا به شکل کلی و یا به شکلی جزئی تعریف خواهند شد

    متغیرهایکلی : متغیرهایی هستند که یک گزاره را به طور کلی تعریف میکنند. هنگامیکه شما یک شرط کلی تعریف می کنید یعنی هر چیزی که عضو آن مجموعه باشددارای آن خاصیت است.

    متغیرهای جزئی : متغیرهایی هستند که یک گزارهرا به طور جزئی تعریف میکنند. هنگامی که شما یک شرط وجودی (جزئی) تعریفمی کنید یعنی لااقل یک چیز وجود دارد که عضو آن مجموعه است.

    نقیض گزارههای کلی به شکلی جزئی است و نقیض گزارههای جزئی به شکل کلی است.
    *هرکس به اندازه همتش رشد می کند*

  2. #2
    کاربرسایت hrg1356 آواتار ها
    تاریخ عضویت
    ۸۶-۰۴-۲۰
    نوشته ها
    5,534
    سپاس ها
    0
    سپاس شده 6 در 3 پست

    Re: منطق ریاضی

    ""تحقیقات علمی درباره منطق ریاضی، در پی بروز پرسش های نوین در بنیانهای ریاضیات پدید آمد. به عنوان نمونه، فرگه میکوشید تا ریاضیات را بر پایهٔ اصول برآمده از منطق و نظریهٔ مجموعهها قرار دهد. راسل ، در حذف تناقضات ناشی از دستگاه منطق فرگه تلاش کرد و هدف هیلبرت نشاندادن این امر بود که "روشهای مورد قبول عام در ریاضیات هرگاه که بهطور همهجانبه ، کلی نگرانه و بهعنوان یک کل واحد ، در نظر گرفته شود ، به هیچ نوع تناقضی منجر نخواهد شد ." (این موضوع به برنامه هیلبرت شهرت یافته است .)""
    برنامهي هيلبرت در سال 1926 با اثبات قضيهي نا تماميت گودل براي هميشه برداشته شد. اين قضيه مي گويد كه تماميت و بدون تناقض بودن در يك دستگاه رياضي هيچگاه با هم جمع نخواهند شد. اين يعني در هر دستگاه منطقي رياضي يك گزاره وجود دارد كه بوسيلهي اصول آن دستگاه قابل اثبات نيست.مشكل اينجاست كه نه ميتوان اين گزاره را نقض كرد و نه مي توان درستي آن را اثبات كرد. ممكن است حدس گلدباخ چنين گزارهاي باشد.
    اما در مورد منطق چند ارزشي:
    ""به طور کلی منطقی که امروزه رواج دارد، منطقی بر پایههای منطق ارسطویی و دو ارزشی است که به مرور تکامل یافته است. از پایههای این منطق قانون طرد شق وسط میباشد. این قانون از مشخصات منطق دو ارزشی است و بیان میکند که گزارهٔ ما هر چه باشد یا درست است یا نادرست و به بیانی دیگر یا گزارهٔ ما درست است یا نقیض آن درست است. این اصل تا به امروز اساس حل بسیاری از مسائل به ویژه حل به روش برهان خلف بوده است اما با این وجود، بحث ها و جنجال های بسیاری در رابطه با ناکافی بودن این منطق وجود دارد. به عقیدهٔ بعضی از منطق شناسان و ریاضیدانان مکتب شهودی همچون براوئر،هیتینگ و بیشاپ نتیجه گرفتن وجود یک چیز تنها به این دلیل که وجود نداشتن آن ممکن نیست کافی نیست.

    در سال های اخیر پژوهش هایی در زمینهٔ منطق چند ارزشی توسط افرادی چون لوکاسیویچ، پست(شخص)وتارسکی انجام شده است اما هنوز به عنوان یک منطق قابل قبول ویا جایگزین در نیامده است.""

    در سال 1965 پروفسور لطفي زاده استاد ايراني الاصل طي يك مقاله منطق فازي( منطق بينهايت ارزشي) را معرفي نمود. اين منطق هرچند كه در ابتدا با مخالفت هاي اساسي روبرو شد اما سرانجام پذيرفته شد و اكنون در بسياري از دانشگاه هاي كشور ما نيز روي اين موضوع كار ميكنند.
    *هرکس به اندازه همتش رشد می کند*

اطلاعات موضوع

کاربرانی که در حال مشاهده این موضوع هستند

در حال حاضر 1 کاربر در حال مشاهده این موضوع است. (0 کاربران و 1 مهمان ها)

مجوز های ارسال و ویرایش

  • شما نمیتوانید موضوع جدیدی ارسال کنید
  • شما امکان ارسال پاسخ را ندارید
  • شما نمیتوانید فایل پیوست کنید.
  • شما نمیتوانید پست های خود را ویرایش کنید
  •