ترکیبیات شاخهای از ریاضیات است که به بررسیدستههایی (معمولاً متناهی) از اشیا میپردازد که در شرایط معینی صدقمیکنند. ریشه آن در روشهای مربوط به شمردن دستهبندیهای مختلف از اشیایا افراد بودهاست. امروز مبحث شمارش همهٔ ترکیبیات را در بر نمیگیردبلکه ترکیبیات یکی از شاخههای بسیار وسیع عالم ریاضی است و شمارش بخشی ازآن است.
شمارش و شمردن حالات انجام یک کار از زمانهای دور مورد بررسیبودهاست. گویا این کار بیش از همه در جنگها برای شمارش سربازان به کارمیرفتهاست.

در این قسمت روشهایی را برای شمردن بدون شمارش دانه به دانه معرفی میکنیم. ابتدا از دو اصل پر کاربرد شروع میکنیم:

۱)اصل ضرب: اصل ضرب میگوید که «اگر ما k شی داشته و هر یک را به m شی قسمتکنیم آنگاه mk شی خواهیم داشت».این اصل بسیار بدیهی است.حال ما آن را بهصورتی پر کاربرد تر بیان میکنیم: «اگر پیشامدی به 2 پیشامد پشت سر همتقسیم گردد و پیشامد اول به k حالت و پیشامد دوم به m حالت واقع شود آنگاهکل پیشامد به mk حالت واقع میشود.»

مثال: شخصی قصد سفر از شهر Aبه شهر B و سپس شهر C را دارد. از شهر A به شهر B، پنج جاده و از B به Cچهار راه وجود دارد. اگر از A به C جادهٔ مستقل وجود نداشته باشد به چندطریق میتوان از A به C رفت؟ جواب: واضح است که بنا بر اصل ضرب پاسخ برابر۲۰ میباشد. این سادهترین نوع سوال ترکیبیات است.

در اصل شمارشاگر کاری را بتوان به m طریق و کار دیگری را بتوان به n طریق انجام داد واگر این دو کار را نتوان همزمان انجام داد آنگاه این یا آن کار رامیتوان به m + n طریق انجام داد.