مکانيک کلاسيک يکي از قديميترين و آشناترينشاخههاي فيزيک است. اين شاخه با اجسام در حال سکون و حرکت ، و شرايط سکونو حرکت آنها تحت تاثير نيروهاي داخلي و خارجي ، سرو کار دارد. قوانينمکانيک به تمام گستره اجسام ، اعم از ميکروسکوپي يا ماکروسکوپي، از قبيلالکترونها در اتمها و سيارات در فضا يا حتي به کهکشانها در بخشهاي دوردست جهان اعمال ميشود.



سينماتيک حرکت:



سينماتيکبه توصيف هندسي محض حرکت ( يا مسيرهاي) اجسام ، بدون توجه به نيروهايي کهاين حرکت را ايجاد کردهاند ، ميپردازد. در اين بررسي عاملين حرکت(نيروهاي وارد بر جسم) مد نظر نيست و با مفاهيم مکان ، سرعت ، شتاب ، زمانو روابط بين آنها سروکار دارد. در اين علم ابتدا اجسام را بصورت ذرهنقطهاي بررسي نموده و سپس با مطالعه حرکت جسم صلب حرکت واقعي اجسام دنبالميشود.






حرکت اجسام به دو صورت مورد بررسي است:





سينماتيک انتقالي:
دراين نوع حرکت پارامترهاي سيستم به صورت خطي هستند و مختصات فضايي سيستمهافقط انتقال مييابد. از اينرو حرکت انتقالي مجموعه مورد بررسي قرارميگيرد. کميت مورد بحث در سينماتيک انتقالي شامل جابهجايي ، سرعت خطي ،شتاب خطي ، اندازه حرکت خطي و...ميباشد.





سينماتيک دوراني:
دراين نوع حرکت برخلاف حرکت انتقالي پارامتر اصلي حرکت تغيير زاويه ميباشد.به عبارتي از تغيير جهت حرکت ، سرعت و شتاب زاويهاي حاصل ميشود. ومختصات فضايي سيستم ها فقط دوران مييابند. جابهجايي زاويهاي ، سرعتزاويهاي ، شتاب زاويهاي و اندازه حرکت زاويهاي از جمله کميات مورد بحثدر اين حرکت ميباشند.



ديناميک حرکت :

ديناميکبه نيروهايي که موجب تغيير حرکت يا خواص ديگر ، از قبيل شکل و اندازهاجسام ميشوند ميپردازد. اين بخش ما را با مفاهيم نيرو و جرم و قوانينحاکم بر حرکت اجسام هدايت ميکند. يک مورد خاص در ديناميک ايستاشناسي استکه با اجسامي که تحت تاثير نيروهاي خارجي در حال سکون هستند سروکار دارد.



پايه گذاران مکانيک کلاسيک:





بااين که شروع مکانيک از کميت سرچشمه ميگيرد ، در زمان ارسطو فرايند فکريمربوط به آن گسترش سريعي پيدا کرد. اما از قرن هفدهم به بعد بود که مکانيکتوسط گاليله ، هويگنس و اسحاق نيوتن بدرستي پايهگذاري شد. آنها نشاندادند که اجسام طبق قواعدي حرکت ميکنند ، و اين قواعد به شکل قوانين حرکتبيان شدند. مکانيک کلاسيک يا نيوتني عمدتا با مطالعه پيامدهاي قوانين حرکتسروکار دارد.





قوانين سه گانه اسحاق نيوتن راه مستقيم و سادهاي به موضوع مکانيک کلاسيک ميگشايد.اين قوانين عبارتند از:





قانون اول نيوتن:
هرجسمي به حالت سکون يا حرکت يکنواخت خود در روي يک خط مستقيم ادامه ميدهدمگر اينکه يک نيروي خارجي خالص به آن داده شود و آن حالت را تغيير دهد.



قانون دوم نيوتن:
آهنگ تغيير تکانه خطي يک جسم با برآيند نيروهاي وارد بر آن متناسب بوده و در جهت آن قرار دارد.



قانون سوم نيوتن:
اينقانون که به قانون عمل و عکسالعمل معروف است ، اينگونه بيان ميشود. هرعملي را عکس العملي است ، مساوي با آن و در خلاف جهت آن.





فرمولبندي لاگرانژي مکانيک کلاسيک:
دربرسي حرکت اجسام به کمک قوانين نيوتون اجسام به صورت ذرهاي در نظر گرفتهميشود. بنابراين ، بررسي حرکات سيستم هاي چند ذرهاي ، اجسام صلب ،دستگاههاي با جرم متغير ، حرکات جفت شده و ... به کمک قوانين اسحاق نيوتنبه سختي صورت ميگيرد. لاگرانژ و هاميلتون دو روش مستقلي را براي حل اينمشکل پيشنهاد کردند. در اين روشها براي هر سيستم يک لاگرانژين(هاميلتونين) تعريف کرده ، سپس به کمک معادلات اويلر-لاگرانژ(هاميلتون-ژاکوپي) حرکات محتمل سيستمها مورد بررسي قرار ميگيرد.



موارد شکست فرمولبندي اسحاق نيوتن :





تاآغاز قرن حاضر . قوانين اسحاق نيوتن بر تمام وضعيتهاي شناخته شده کاملاقابل اعمال بودند. مشکل هنگامي بروز کرد که اين فرمولبندي به چند وضعيتمعين زير اعمال شدند:





اجسام بسيار سريع:
اجسامي که با سرعت نزديک به سرعت نور حرکت ميکنند.





اجسام با ابعاد ميکروسکوپي مانند الکترونها در اتمها.

شکست مکانيک کلاسيک در اين وضعيتها ، نتيجه نارسايي مفاهيم کلاسيکي فضا و زمان است.



مکمل مکانيک کلاسيک:

مشکلات موجود در سر راه مکانيک کلاسيک منجر به پيدايش دو نظريه زير شد:





فرمولبندي نظريه نسبيت خاص براي اجسام متحرک با سرعت زياد





فرمولبندي مکانيک کوانتومي براي اجسام با ابعاد ميکروسکوپي


مکانيک لاگرانژي




اطلاعات اوليه
کاربردمستقيم قوانين حرکت نيوتن براي حرکت سيستمهاي ساده راحت و آسان است. امادر صورتي که تعداد ذرات سيستم بيشتر شود، در اين صورت استفاده از قوانيننيوتن کار دشواري خواهد بود. در اين حالت از يک روش عمومي ، پيچيده وبسيار دقيق که به همت رياضيدان فرانسوي ژوزف لويي لاگرانژ ابداع شده است،استفاده ميشود. به اين ترتيب ميتوان معادلات حرکت براي تمام سيستمهايديناميکي را پيدا کرد. اين روش چون نسبت به معادلات نيوتن حالت کلي تريدارد، لذا در مورد حالتهاي ساده که با معادلات حرکت نيوتن به راحتي حلميشود، نيز قابل اعمال است.


مختصات تعميم يافته
موقعيتيک ذره در فضا را ميتوان با سه سيستم مختصات مشخص کرد. اين سيستمهاعبارتند از سيستمهاي کارتزين ، کروي و استوانهاي ، يا در حقيقت هر سهپارامتر مناسب ديگري که انتخاب شده باشند. اگر ذره مجبور به حرکت در يکصفحه يا سطح ثابت باشد فقط به دو مختصه براي مشخص کردن موقغيت ذره نيازاست، در حاليکه اگر ذره روي يک خط مستقيم يا يک منحني ثابت حرکت کند، ذکريک مختصه کافي خواهد بود. اما در مورد يک سيستم متشکل از N ذره ، برايتشخيص کامل موقعيت همزمان تمام ذرات به 3N مختصه نياز خواهيم داشت.

اگرمحدوديتهاي بر سيستم اعمال شده باشد، تعداد مختصات لازم براي مشخص کردنپيکربندي کمتر از 3N خواهد بود. به عنوان مثال ، اگر سيستم مورد نظر يکجسم صلب باشد، براي مشخص کردن پيکربندي آن فقط به موقعيت مکاني يک نقطهمرجع مناسب از جسم (مثلا مرکز جرم) و جهت يابي آن نقطه در فضا احتياجداريم. بنابراين در حالت کلي براي مشخص کردن پيکربندي يک سيستم خاص ،احتياج به تعداد حداقل معين n مختصه نياز است. اين مختصات را مختصات تعميميافته ميگويند.


نيروي تعميم يافته
در سيستم مختصاتتعميم يافته ، به جاي نيروهايي که در مکانيک کلاسيک نيوتني معمول است،مرتبط با هر مختصه نيرويي تعريف ميشود که به نام نيروي تعميم يافته معروفاست. اين کميت که با استفاده از تعريف کار محاسبه ميشود، به اين صورت استکه حاصل ضرب آن در مختصه تعميم يافته داراي ابعاد کار است. بنابراين اگرمختصه تعميم يافته داراي بعد فاصله باشد در اين صورت اين کميت از جنس نيروخواهد بود. در صورتيکه مختصه تعميم يافته از نوع زاويه باشد، در اين صورتاين کميت داراي بعد گشتاور خواهد بود. يعني متناسب با نوع مختصه تصميميافته ميتواند از جنس نيرو و يا گشتاور نيرو باشد.


معادلات لاگرانژ
برايبررسي حرکت يک سيستم در مکانيک لاگرانژي انرژي جبنشي و انرژي پتانسيلسيستم را تعيين ميکنند. اين کار به اين صورت ميگيرد که در مکانيکلاگرانژين در مورد هر سيستم دو کميت جديد به نامهاي لاگرانژين وهاميلتونين تعريف ميشود. لاگرانژين برابر تفاضل انرژي پتانسيل از انرژيجنبشي است. در صورتي که هاميلتون برابر با مجموع انرژي جنبشي و انرژيپتانسيل سيستم است. در واقع ميتوان گفت که کار اصلي تعيين و محاسبه صحيحانرژي جنبشي و پتانسيل است.

سپس اين مقادير در معادلهاي که بهمعادله لاگرانژ حرکت معروف است قرار داده ميشود. معادله لاگرانژ ،معادلهاي است که بر حسب مشتقات تابع لاگرانژي نسبت به مختصات تعميم يافتهو نيز مشتق زماني مشتقات تابع لاگرانژي نسبت به سرعتهاي تعميم يافته نوشتهشده است. به عبارت ديگر اگر تابع لاگرانژي را با L نشان دهيم و مختصاتتعميم يافته را با qk و سرعتهاي تعميم يافته را با qk (که نقطه بيانگرمشتق زماني مختصه تعميم يافته qk است) نشان دهيم، معادلات لاگرانژ به صورتزير خواهد بود:


درصورتي که نيروهاي موجود در سيستم همگي پايستار نباشند، به عنوان مثال يکنيروي غير پايستار مانند اصطکاک وجود داشته باشد در اين صورت در طرف دوممعادلات لاگرانژ عبارت Qk که بيانگر نيروي تعميم يافته غير پايستار است،نيز اضافه ميشود.



معادلاتلاگرانژ براي تمام مختصات يکسان هستند. اين معادلات ، روش يک نواختي برايبدست آوردن معادلات ديفرانسيل حرکت يک سيستم در انواع سيستمهاي ارائهخواهند داد.


اصل تغييرات هاميلتون
روش ديگر براي استنتاجمعادلات لاگرانژ اصل تغييرات هاميلتوني است. در اين حالت همانگونه که قبلانيز اشاره شد در مورد هر سيستم کميتي به نام تابع هاميلتوني تعريف ميشودکه برابر با مجموع انرژي جنبشي و انرژي پتانسيل سيستم است. اين اصل در سال1834 توسط رياضيدان اپرلندي ويليام .ر. هاميلتون ارائه شد.

در اينروش فرض ميشود که يک تابع پتانسيل وجود دارد، يعني سيستم تحت بررسي يکسيستم پاياست. ولي اگر تعدادي از نيروها نيز غير پايستار باشد مانند موردمعادلات لاگرانژ ميتوان سهم اين نيرو ها را نيز بطور جداگانه منظور کرد.يعني در اين حالت تابع هاميلتون برابر با مجموع انرژي جنبشي و کار انجامشده توسط تمام نيروها اعم از نيروهاي پايستار و غير پايستار است.


معادلات هاميلتون
معدلاتهاميلتون از 2n معادله ديفرانسيل درجه اول تشکيل شده است. اين معادلات برحسب اندازه حرکت تعميم يافته و مشتقات آن نوشته ميشود. اندازه حرکت تعميميافته به صورت مشتقات تابع لاگرانژي نسبيت به سرعت تعميم يافته تعريفميشود. بنابراين اين معادلات زير خواهند بود.





درعبارت فوق qk بيانگر سرعت تعميم يافته است و علامت نقطه در بالاي Pk(اندازه حرکت تعميم يافته) بيانگر مشتق زماني است. اگر معادلات هاميلتونرا با معادلات لاگرانژي مقيسه کنيم ملاحظه ميشود که تعداد اولين معادلاتزياد است. يعني اگر سيستم V با N مختصه يافته مشخص شود، در اين صورتمعادلات هاميلتون شامل 2n معادله ديفرانسيل درجه اول هستند، در صورتيکهمعادلات لاگرانژ از n معادله درجه دوم تشکيل شده است. بنابراين کار کردنبا معادلات هاميلتون راحتتر است. معمولا در مکانيک کوانتومي و مکانيککاري از معادلات هاميلتون استفاده ميشود.